高一数学圆的方程典型例题解析[打印19页].doc

高一数学圆的方程典型例题解析
类型一:圆的方程
例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系.
分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点与圆的位置关系,只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.
解法一:(待定系数法)
设圆的标准方程为.
∵圆心在上,故.
∴圆的方程为.
又∵该圆过、两点.
∴
解之得:,.
所以所求圆的方程为.
解法二:(直接求出圆心坐标和半径)
因为圆过、两点,所以圆心必在线段的垂直平分线上,又因为,故的斜率为1,又的中点为,故的垂直平分线的方程为:即.
又知圆心在直线上,故圆心坐标为
∴半径.
故所求圆的方程为.
又点到圆心的距离为
.
∴点在圆外.
例2 求半径为4,与圆相切,且和直线相切的圆的方程.
分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解.
解:则题意,设所求圆的方程为圆.
圆与直线相切,且半径为4,则圆心的坐标为或.
又已知圆的圆心的坐标为,半径为3.
若两圆相切,则或.
(1)当时,,或(无解),故可得.
∴所求圆方程为,或.
(2)当时,,或(无解),故.
∴所求圆的方程为,或.
说明:对本题,易发生以下误解:
由题意,所求圆与直线相切且半径为4,则圆心坐标为,,即,其圆心为,,,,或.
上述误解只考虑了圆心在直线上方的情形,,.
例3 求经过点,且与直线和都相切的圆的方程.
分析:,由于所求圆过定点,,故圆心必在它们的交角的平分线上.
解:∵圆和直线与相切,
∴圆心在这两条直线的交角平分线上,
又圆心到两直线和的距离相等.
∴.
∴两直线交角的平分线方程是或.
又∵圆过点,
∴圆心只能在直线上.
设圆心
∵到直线的距离等于,
∴.
化简整理得.
解得:或
∴圆心是,半径为或圆心是,半径为.
∴所求圆的方程为或.
说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.
例4、设圆满足:(1)截轴所得弦长为2;(2)被轴分成两段弧,其弧长的比为,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线的距离最小的圆的方程.
分析:要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方程.
解法一:设圆心为,半径为.
则到轴、轴的距离分别为和.
由题设知:圆截轴所得劣弧所对的圆心角为,故圆截轴所得弦长为.
∴
又圆截轴所得弦长为2.
∴.
又∵到直线的距离为
∴
当且仅当时取“=”号,此时.
这时有
∴或
又
故所求圆的方程为或
解法二:同解法一,得
.
∴.
∴.
将代入上式得:
.
上述方程有实根,故
,
∴.
将代入方程得.
又∴.
由知、同号.
故所求圆的方程为或.
说明:本题是求点到直线距离最小时的圆的方程,若变换为求面积最小呢?
类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5 已知圆,求过点与圆相切的切线.
解:∵点不在圆上,
∴切线的直线方程可设为
根据
∴
解得
所以
即
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,.
说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解.
本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0解决(也要注意漏解).还可以运用,求出切点坐标、的值来解决,此时没有漏解.
例6 两圆与相交于、两点,求它们的公共弦所在直线的方程.
分析:首先求、两点的坐标,再用两点式求直线的方程,,可以采用“设而不求”的技巧.
解:设两圆、的任一交点坐标为,则有:
①
②
①-②得:.
∵、的坐标满足方程.
∴方程是过、两点的直线方程.
又过、两点的直线是唯一的.
∴两圆、的公共弦所在直线的方程为.
说明:上述解法中,巧妙地避开了求、两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没有去求它,,这是一种“设而不求”的