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第五章数值积分与数值微分
/*Numerical Integration And Differentation*/
近似计算
但是在许多实际问题经常遇到下列情况:
(1)原函数存在但不能用初等函数表示;
(2)原函数可以用初等函数表示,但结构复杂;
(3)被积函数没有表达式,仅仅是一张函数表。
几何意义:
曲边梯形的面积
-
取左端点矩形近似
求定积分的思想:
分割、近似、求和
取右端点矩形近似
复化型求积公式
-
数值积分公式的一般形式:
其中
求积节点
求积系数
仅与求积节点有关
求积公式的截断误差或余项:
§ 数值求积的基本问题
代数精度的判别方法
求积公式的代数精度(/*Algebraic Precision */)
如果求积公式
对一切不高于m次的多项式都恒成立,而对于某个m+1次多项式不能精确成立,则称该求积公式具有m次代数精度。
求积公式
具有次m代数精度的充要条件是为
时求积公式精确成立,而为时求积公式不能成为等式。
求积系数的特征:
求积公式的收敛性和稳定性
若
则称求积公式(*)是收敛的。
设有舍入误差
,实际计算的求积公式为:
两者的误差为
其中
求积系数全为正时,公式是稳定的
§ Newton—Cotes公式
一、插值型求积公式/*Integration Formula of Interpolation Type*/
思想
用被积函数在区间
上的插值多项式近似代替计算
作n次Lagrange插值多项式:
设已知函数在节点
上的函数值
其中
插值型求积公式:
余项
形如的求积公式至少
有n次代数精度的充要条件是它是插值型求积公式。
证明:
充分性
设它是插值型求积公式
当
时,
即它对所有不超过n次的多项式精确成立,故至少有n次代数精度。
则对所有不超过n次的多项式求积公式精确成立
取
因此求积公式是插值型的。
必要性
设求积公式至少有n次代数精度