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第三章幂级数展开
意义:1、利用级数计算函数的近似值;
2、级数法求解微分方程;
3、以级数作为函数的定义;
4、奇点附近函数的性态。
§ 复数项级数
一、复级数概念
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原级数成为
这样复级数归结为两个实级数,
实级数的一些性质可移于复级数
二、收敛性问题
1、收敛定义:
部分和于
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有确定的极限,便称级数收敛,极限不存在或,便称级数发散
2、柯西收敛判据(级数收敛的充分必要条件):
对于任给的小正数必有N存在,使得 n>N 时,
式中 p 为任意正整数。
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3、绝对收敛级数
若收敛,则绝对
收敛.
a. 绝对收敛级数改变先后次序,和不变.
b. 两个绝对收敛级数逐项相乘,其和收敛,为两级数和之积.
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三、函数项级数
1、概念与收敛判据
设是z平面上某区域B中的单值解析函数。如果函数项级数在B中(或某曲线l上)所有点上都收敛,则说级数在B中(或某曲线l上)收敛。
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柯西收敛判据(级数收敛的充分必要条件):
对B内每点 z,任给小正数必有存在,使得当时,
式中 p 为任意正整数。N一般随z不同而不同,但如果对任给小正数存在与z无关的
使得时,上式成立,便说
在B内一致收敛。
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2、一致收敛级数的性质
记级数和为
(1)在B内一致收敛的级数,如果级数的每一项
都是B内的连续函数,则级数的和
也是B内的连续函数。
(2)逐项求积分在曲线l上一致收敛的级数,如果级数的每一项都是l上的连续函数,则级数的和也是l上的连续函数,而且级数可沿l逐项求积分。
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(3)逐项求导数(外氏-Weierstrass 定理)
设级数在中一致收敛,
在中单值解析,则级数的和也是中的单值解析函数, 的各阶导数可由
逐项求导数得到,即:
且最后的级数在内的任意一个闭区域中一致收敛。
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3、级数一致收敛的外氏(Weierstrass)判别法,或优级数判别法,或M判别法
若对于某区域B(或曲线l )上所有各点z, 函数项级
数各项的模( 是与z无关
的正数),而正的常数项级数收敛,则
在区域B(或曲线l )上绝对且一致收敛。
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