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第八章 分离变量(傅里叶级数)法
§ 齐次方程的分离变量法驻波法
(一) 分离变数法介绍
常微分方程:求出通解,然后由初始条件或边界
条件确定待定常数;
偏微分方程:求通解较困难,求得通解定解亦难,
因通解中含有任意函数。因此直接求满足定
解条件的特解。
分离变量法的基本思想:将解偏微的问题化为解
常微的问题
偏微分方程
的定解问题
分离变量
常微分方程
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弦的振动虽然是一个特殊的问题,但它能比较直观地显示出波动问题的一般特征,并形象地说明波动的一些基本概念,如驻波、波节、波腹、本征频率、波的叠加等。该方法亦因此称为驻波法。
用分离变数法得到的数学解式特别清楚地反映了波动的这些基本概念。
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两端固定弦的自由振动:
泛定方程
初始条件
边界条件
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第一步:泛定方程的分离变量:
考虑如下形式的特解:
代入方程():
两边同除
由此得到二个常微分方程:
分析:左边:x 的函数;右边 t 的函数, 而 x 和 t 是
独立变量,故只有两边为同一常数(-)。
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第二步:边界条件的分离变量:
()代入边值条件:
因此,只能:
问题:能否对初始条件()也进行分离变量呢?
()代入()得到
即
而(x) 和(x) 是任意函数,一般不满足的方程
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第三步:解问题:
(1)
由边值
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(2)
由边值
(3)
由边值
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最后得到问题的解为:
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的取值不是任意的,只能取某些特定的数值,方程()才有满足条件的非零解。这些特定的值称为本征值,()相应的非零解称为本征函数。求本征值和相应的本征函数的问题称为本征值问题。
方程及边界条件必须为齐次的,才能分离变数!
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第四步:解时间部分:
通解为:
因此,方程()且满足边界条件()的特解为