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文档介绍
§ 特殊函数常微分方程
球坐标:
体积元
第九章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题
x
y
z
O
r
•
(r,,)
1
柱坐标:
体积元
•
x
y
z
O
(, , z)
z
e
ez
e
2
(一)Laplace 方程
(1)球坐标系
分离变量解:
代入()得到
3
i)径向方程
该方程的解为:
——Euler 方程
4
ii)单位球面上方程:
可以进一步分离变量:
极角方向:
——球函数方程
5
——该方程称为连带 Legendre 方程。
6
当 m=0 时,称为 Legendre 方程:
即:
注意: 因 x=cos, 而的变化范围是[0, ], 所以
x 的变化范围是[-1,+1] 。
7
(2)柱坐标系
试分离变量解:
代入方程(1) 得到:
8
对方向
有本征值问题:
本征值问题的解:
9
分三种情况:
(i) ρ方向非齐次边界条件,z方向齐次边界条件,
仅当有满足z方向齐次边界条件的解
记
a
x
y
10
球坐标:
体积元
第九章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题
x
y
z
O
r
•
(r,,)
1
柱坐标:
体积元
•
x
y
z
O
(, , z)
z
e
ez
e
2
(一)Laplace 方程
(1)球坐标系
分离变量解:
代入()得到
3
i)径向方程
该方程的解为:
——Euler 方程
4
ii)单位球面上方程:
可以进一步分离变量:
极角方向:
——球函数方程
5
——该方程称为连带 Legendre 方程。
6
当 m=0 时,称为 Legendre 方程:
即:
注意: 因 x=cos, 而的变化范围是[0, ], 所以
x 的变化范围是[-1,+1] 。
7
(2)柱坐标系
试分离变量解:
代入方程(1) 得到:
8
对方向
有本征值问题:
本征值问题的解:
9
分三种情况:
(i) ρ方向非齐次边界条件,z方向齐次边界条件,
仅当有满足z方向齐次边界条件的解
记
a
x
y
10
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