必修5第二节《数列》基础知识总结.doc

数列基础知识总结
一、要点***
数列是高中代数的主要内容,同是数列与高等数学联系密切。
在内容上本章包括数列的概念、等差数列、等比数列的有关概念、性质、通项、前n项和等。等差数列与等比数列是两个特殊数列,是本章的核心。
由于数列可以看成是正整数集或其子集上的函数,因此,要注意用函数的观点和方法研究数列。
二、知识复****br/>有关概念:
1°数列:按一定次序排列的一列数,数列中的每一个数叫做数列的项。
2°数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做数列的通项公式。
3°数列的递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前n项,且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
4°若数列{an}的前n项和为Sn则

(2)等差与等比数列
 
 
等差数列
等比数列
 
 
定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。即an-an-1=d,公差d可为正数、负数和零()
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。即,公比q是一个不等于零的常数。()
 
通项公式
(来源:定义,迭加,迭代)
(证明)
(定义,迭乘,迭代)
 
 
中项
若a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,且2A=a+b。
若a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G2=ab。(a, b是同号)
 
 
前n项和
(倒序相加)
(错位相减)
 
 
 
 
 
性质
(1)
(2)
(3)若{an}为等差数列,则an,a2n,a3n也为等差数列
(4)若{an}为等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也为等差数列
(1)
(2)
(3)若{an}为等比数列,则an,a2n,a3n也为等比数列。
(4)若{an}为等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也为等比数列。
(5)若{an},{bn}都是等差数列,则{an+c},{kan},{an+bn}也是等差数列(其中k、c为任何常数)
(5)若{an},{bn}都是等比数列,则{kan}(k≠0),也是等比数列。
 
 
 
 
等价条件
(1)(常数){an}为等差数列
(2)(k、b不同时为0的常数){an}为等差数列
(3)不同时为0的常数)为等差数列
(4)为等差数列
(1)(q≠0常数){an}为等比数列。
(2)常数){an}为等比数列。
(3)(){an}为等比数列。
设元技巧
三数等差:
四数等差:
三数等比:
四数等比:
联系
真数等比,对数等差; 指数等差,幂值等比。
(3)数列求和及数列实际问题

(1)求通项常用方法:观察,归纳,叠加,叠乘,数列前n项和Sn与通项an的关系式:an= 。
(2)数列前n项和
①重要公式:1+2+…+n=n(n+1);12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1);13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2;
②等差数列中,Sm+n=Sm+Sn