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第二章插值法
1 前言
实际问题中若给定函数 y =f(x) 是区间[a, b]
上的一个列表函数
如果
,且 y =f(x) 在区间
上是连续的,要求用一个简单的便于计算的解析表达式
p(x) 在区间上近似 y =f(x) ,使
()
称 p(x) 为 y =f(x) 的插值函数,点
称为插值节点,包含插值节点的区间[a, b] 称为插值区间.
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通常
,其中
是一组在
上线性无关的函数族,
表示由
组成的函数空间,所以
可表示为
这里
是(n+1)个待定常数
它可根据条件()确定.
当
所以
表示次数不超过n次的多项式集合,
有
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从几何上看,插值问题就是求过n+1个点
的曲线,使它近似于已给函数
()称为插值多项式,如果为三角函数,则为三角插值,同理还有分段多项式插值,有理插值等等.
x0
x1
x2
x3
x4
x
p(x)  f(x)
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其系数矩阵是n+1阶范德蒙(Vandermonde)行列式
我们仅介绍多项式插值,即如果已知函数f (x)在n+1个互异点的值yi=f (xi) (i=0,1,2,,n),求一个次数不高于n的多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2++anxn , () 使 Pn(xi)=yi (i=0,1,2,,n)
为了确定Pn(x)的n+1个系数,由上述条件得线性方程组
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∵ xi≠xj ,(i≠j),∴此范德蒙行列式的值不为零,方程组有唯一解a0,a1,a2,,an.
虽然此法可以求出唯一的插值多项式,但是计算量太大,并不实用。下面介绍拉格朗日和牛顿两种插值法。
由此可知:满足插值条件()的插值多项式()式
是唯一存在的.
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返回
线性插值
已知两点(x0,y0) , (x1,y1) , 求一次多项式 P1(x) , 使 P1(x0)=y0 ,P1(x1)=y1 ,即求一条过(x0,y0) 和(x1,y1)的直线 y=P1(x) .
2 拉格朗日插值法。
由直线的两点式方程
得
()称为拉格朗日线性插值公式。
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如记
则()可写成
其中称为拉格朗日线性插值基函数,其性质如下:
可写成
拉格朗日线性插值基函数均为x的一次多项式,而拉格朗日线性插值多项式L1(x)插值基函数的线性组合,相当于用直线逼近曲线。(P24)
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例已知,求
解∵
∴
∴
)
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二次插值
已知三点(xi,yi) (i=0,1,2), 求一个二次多项式 P2(x) ,
使 P2 ( xi ) = yi ( i = 0,1,2)
由线性插值的启示和拉格朗日线性插值公式的特点,可令
其中均为二次多项式, 且满足
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用待定系数法可确定。
例如为确定二次多项式, ∵
∴可令
又∵
∴
则
类似地有
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