三、二重积分的几何意义
一、问题的提出
二、二重积分的定义
主要内容:
四、二重积分的性质
一、问题的提出
x
引例1:曲顶柱体的体积
曲顶柱体
0
y
z
x
z = f (x,y)
D
柱体体积=底面积×
高
特点:平顶.
柱体体积=?
特点:曲顶.
思想:
当在区域D上变动时,高度是个变量.
因此,它的体积不能直接用平顶柱体的体积公式来求.
“以直代曲,以常代变”
分析:
联想
回忆定积分的概念
0
x
y
a
xi
xi+1
y = f (x)
1)“分割”
2)“近似”
3)“求和”
4)“取极限”
曲边梯形
b
i
f ( i , i)
( i , i)
Di
z = f (x,y)
思路流程
Di
1)“分割”
用任意曲线网分D为 n 个小闭区域
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个
2)“近似”
在每个
3)“求和”
则
中任取一点
小曲顶柱体
具体步骤:
D1, D2,…, Dn , Di的面积记作 i .
其中Di的直径是指小闭区域Di中相距最远的两点的距离.
其中( i , i) Di , i = Di 的面积.
x
y
Di
如图
4)“取极限”
(1)若平面薄板的质量是均匀分布的, 则平面薄板的质量= 面密度×面积.
(2)若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M?
引例2. 平面薄板的质量
分析:
设一平面薄板, 所占区域为D , 面密度(x, y) 0 连续. (x, y) D. 求该平面薄板的质量M.
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