第07章弯曲变形.ppt

材料力学
中南大学土木建筑学院
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第七章弯曲变形
研究弯曲变形的目的
(1)刚度计算;
(2)解简单的超静定梁。
(3)为压杆稳定及振动计算提供基础
研究范围:
等直梁在对称弯曲时位移的计算。
本章的基本内容:
一、弯曲变形的量度及符号规定;
二、挠曲线及其近似微分方程
三、计算弯曲变形的两种方法
(1)积分法(2)叠加法
四、刚度条件提高梁弯曲刚度的措施
五、用变形比较法解简单的超静定梁。
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二、挠曲线:变形后,轴线变为光滑曲线,该曲线称为挠曲线。
其方程为: v =f (x)
三、转角与挠曲线的关系:
一、度量梁变形的两个基本位移量
小变形
1、挠度:横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。
与 y 同向为正,反之为负。
2、转角:横截面绕其中性轴
转动的角度。用表示,
自x 轴正向转到 y 轴正向
一致为正,反之为负。
F
x
v
C
q
C1
y
q
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轴线
纵向对称面
F
q
M
弯曲后梁的轴线
(挠曲线)
挠曲线:
在平面弯曲的情况下,梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线,这条曲线称为挠曲线。
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式(2)就是挠曲线近似微分方程。
小变形
y
x
M>0
y
x
M<0
(1)
(2)
一、挠曲线近似微分方程
§—§ 梁的挠曲线近似微分方程
及积分法求弯曲变形
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二、积分法求挠曲线方程(弹性曲线)
1、微分方程的积分
积分方程为何用不定积分,可以用定级分吗?
用定积分计算出的并不是某截面对其原位置
(与x轴垂直)的转角,而是两截面的相对转角。
是x截面相对于坐标原
点处截面的相对转角。
积分一次
积分两次
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2、积分常数的确定
①边界条件——约束条件, 挠曲线必受边界约束限制。
②连续条件——相邻挠曲线必须光滑连接。
边界条件
连续条件
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细
长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或
变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件
(边界条件、连续条件)确定。
④优点:使用范围广,直接求出较精确;
缺点:计算较繁。
AC、BC挠曲线不同
F
A
B
C
F
D
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①凡载荷有突变处(包括中间支座),应作为分段点;
②凡截面有变化处,或材料有变化处,应作为分段点;
③中间铰视为两个梁段间的联系,此种联系体现为两部分之间
的相互作用力,故应作为分段点;
积分法——基本方法
利用积分法求梁变形的一般步骤:
(1)建立坐标系(一般:坐标原点设在梁的左端),求支座反力,分段列弯矩方程;
分段的原则:
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(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程,并对其积分两次
对挠曲线近似微分方程积分一次,得转角方程:
再积分一次,得挠曲线方程:
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分2段,则积分常数2x2=4个
(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数
①积分常数的数目——取决于分段数
M (x) —— n 段
积分常数——2n个
举例:
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边界条件
积分常数2n个=2n个
连续条件
②积分常数的确定——边界条件和连续条件:
边界条件:梁在其支承处的挠度或转角是已知的,这样的已知条件称为边界条件。
连续条件:梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此,在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值,这样的已知条件称为连续条件。