第三章金属塑性变形的力学基础
第二节应变分析
第二讲点的应变状态分析
体积不变条件
应变状态分析
应变增量
一点应变状态
点的应变状态
设任意点a(x,y,z)的应变分量:
设线元ab=r
r在三个坐标轴上的投影:dx,dy,dz
方向余弦:
长度:
a)线应变
变形后
ab
移至
a1b1
长度:
在三个轴上的投影:
dx+δu,dy+δv,dz+ δw
略去δr, δu, δv, δw的平方项
略去δr, δu, δv, δw的平方项
两边同除以r2
(3-43)式
比较:
b)切应变(线元变形后的偏转角)
引NM⊥a1b1
在ΔNMb1中,有
由于
故
于是:
如果没有刚体转动,
就是切应变
如果有刚体转动,
纯剪变形引起的位移增量
刚性转动引起的位移增量
去除刚性转动
所以
比较
结论:若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知,则该点任意方向应变可求。
一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示。与应力状态相似,如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上张量之定义,即
εij为二阶对称张量。
塑性变形时的体积不变条件
设单元体初始边长为 dx,dy,dz
变形前的体积
变形后边长
变形后的体积
展开,略去高阶微量
体积变化率
在弹性变形中,θ可正可负,在塑性变形中,认为体积不变θ为零。
体积不变条件为
塑性变形时,三个线应变分量不可能全部同号,绝对值最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。
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