第08章 最优设计方法—状态空间法.ppt

引言
前两章阐述的系统离散化设计方法,是用极点配置解决系统设计(综合)问题,主要设计参数是闭环极点。
本章研究系统最优设计方法。系统用线性离散状态空间描述,性能准则是状态与控制信号的二次型函数,设计问题就是寻求使性能准则为最小的允许控制信号序列,所设计的数字控制器是线性的,这类问题被称为线性二次型控制问题。继而研究在随机信号扰动下的线性二次型高斯(LQG)控制问题。
本章主要阐述如下两个问题:
1. 建立在二次型代价函数(性能指标)最小基础上的状态反馈控制系统设计;
2. 在随机扰动作用下,最优状态估计——卡尔曼滤波器的设计。
最优调节系统设计
设计准则
所设计的系统见图8-2-1。由J= Jmin准则设计的系统称线性二次型(LQ)控制系统,控制器称线性二次调节器。
图8-2-1 LQ控制系统框图
x
r=0 u
y
_
A,B
L(k)
C
ZOH
由式(8-2-2)可见,LQ控制问题是一种N阶段问题,即为“有限时间”问题。式中,第一项称终点代价,其余两项称运转代价:其中,第一项反映了由初始状态趋向于平衡位置响应的快慢,第二项反映了功耗的大小。“权”的选择可依据所着重的品质而定。
对于很多实际系统,N,即为“无限时间”问题。在本节,有限与无限时间问题均予以讨论。
权矩阵Q、R、S与状态向量、控制向量有关的物理限制(如:上、下限值等)、与所研究问题的性质有关。Q、R一般是定常的,S可对不同阶段取不同阵: 。
变分法 用变分法中的拉格朗日乘数法解LQ问题。求解步骤:
从数学角度可以说,最优控制要解决的问题是,求泛函J在式(8-2-1)条件下的极值问题,典型的求解方法:动态规划法和变分法。
1. 构造哈密顿(Hamilton)函数
将式(8-2-1)写成:
引入拉格朗日乘子向量:
构造哈密顿函数:
于是,将原来求J的条件极值问题,变成求H的无条件极值问题。
2. 开环最优调节
依据变分原理,式(8-2-2)代价函数J= Jmin最小(也称最优)的必要条件: 。
因
则J最优的必要条件为:
由上三式可求得开环最优调节描述为:
终止阶段的拉格朗日乘子向量,可由:
求得:
3. 闭环最优调节
为求闭环反馈最优调节,ati变换:
则
在最终段,k=N,可得:
可见,在已知Q、S、A、B情况下,由k=N开始,沿阶段数减小方向,根据上式一步步倒推,可求得P(k)各值。
无限时间问题
以上讨论的LQ控制是“有限时间”问题,下面讨论N的“无限时间”问题。
1. 确定稳态反馈增益矩阵L
由例8-2-1、8-2-2可知,对于A、B、Q、R为定常阵,且(A,B)具有能控性情况,N有限时,反推求得的P(k)、L(k)虽是时变的,但在前几个时间段,已基本上是常值。为此推断出,当N很大时,由最终段倒推, P(k)、 L(k)会随着k的减小很快趋于常值,称为稳态解,此时,式(8-2-21)成为代数方程:
确定L的递推法:取某一有限N值,与例8-2-1、8-2-2同样方法递推,当P(k)、L(k)变化很小时,定其为近似稳态解L。