初中数学竞赛辅导资料30.doc

初中数学竞赛辅导资料(30)
概念的分类
甲内容提要
概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时,按照某一个标准把它分成几个小类,能更明确这一概念所反映的一切对象的范围,且能明确各类概念之间的区别与联系。
概念分类必须用同一个本质属性为标准,把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类,也可用角的大小分类;又如整数可按符号性质分为正、负、零,也可以按除以模m的余数分类。
分别表示如下:
整数整数整数整数
一种概念所分成的各类概念应既不违漏,又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类,并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。
例如正整数按下列分类是正确的
正整数正整数
如果只分为质数和合数,则外延总和比正整数的外延小;如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大,因此都不对。
又如等腰三角形的定义是:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
所以三角形按边的大小分类
应是分成两类:不等边三角形和等腰三角形, 而不能是三类:(不等边,等腰,等边)如果这样,三边相等的三角形将落入两类(等腰,等边),所以概念的分类与概念的定义有直接联系。
二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。
例如三角形平面内两条直线位置
实数可分为:非负实数和负实数;四边形可分为:平行四边形和非平行四边形等等。
从属关系的概念(上下位概念)是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。
例如:等边三角形从属于等腰三角形,而等腰三角形又从属于三角形
又如:代数式包含有理式和无理式,有理式包含整式和分式,整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下:
代数式

三角形

等腰三角形
有理式

等边三角形
整式

单项式
,互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念(同位概念)。
例如:偶数和奇数;有理式和无理式;直角三角形、钝角三角形和锐角三角形,它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:





。
一种概念用不同的标准分类,所得的各类概念之间的关系
可能就有交叉关系的概念。
例如:正数和整数是交叉关系的概念,既是正数又是整数的数叫做正整数;
等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念,外延重叠的部分,叫做等腰直角三角形。图示如下:

乙例题30
>b (a,b是实数,x是未知数)的解的集合分类。
解:把实数a,b按正,负,零分类,得不等式解的集合如下:
ax>b的解集
,底边与腰长的差为3cm,求这个三角形的各边长。
解:设底边长为xcm,则腰长是cm
当腰比底大时是-x=3 ∴x=3 =6
当腰比底小时是 x-=3 ∴x=7 =4
答(略)
①(-2 ②
解:①∵要使有意义,必须且只需x+1≥0,即x≥-1
(-2 =+x+1-2=+x-1
当-1≤x<1时,原式=-(x-1)+x-1=0
当x≥1时, 原式=x -1+x-1=2x-2