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特例法在高考中的妙用
甘肃王新宏
如果你认真研究近几年的高考数学题,你将会发现有些选择题,须用特例法求解。所谓特例法,通俗来说就是一般的满足,特殊的也满足;即在一般情况下,可用特殊的情形来代替一般情形。具体来说就是用特殊的值、向量、点、数列、函数、位置、图形来代替一般的值、向量、点、数列、函数、位置、图形;从而达到快速解题的目的。下面我就高考题把特例法做一总结,希望对你有所帮助。
特殊值法
例1(07安徽、文8)设,且,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
解析:取a=2,得答案B
评注:所选取的特例要符合题设条件,且越简单越好。
例2(07江西、理5)若,则下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
解析:取,排除A,B,C,得D
评注:一般情况下,特例法与排除法结合起来使用。
例3(06安徽、理11)如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值,则( )


,是锐角三角形
,是钝角三角形
解析:三角形中角的正弦值均为正
的三内角的余弦值也为正
是锐角三角形
取
得所以选D
评注:所取的特例必须是我们非常熟悉的,越简单越好。
例4(06辽宁,理10) 直线与曲线的公共点的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:不妨取k=1,将代入得:
,显然该关于的方程有两正解,即有四解,
所以交点有4个,故选择答案D。
评注:任意不等于0的k都满足,k取1当然满足;不要担心做错题。
例5(06陕西,理10)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则( )
(x1)<f(x2) (x1)=f(x2)
(x1)>f(x2) (x1)与f(x2)的大小不能确定
解析:取a=1得函数f(x)=x2+2x+4,二次函数的图象开口向上,对称轴为,∴ x1+x2=0,∴ x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离。
∴ f(x1)<f(x2) ,选A.
评注:0<a<3中的任何一个值都满足题设,a=1也满足。
例6(06湖南,理2). 若数列满足: , 且对任意正整数都有,则( )
A. B. C. D.
解析:数列满足: , 且对任意正整数都有;所以,,∴数列是首项为,公比为的等比数列。,选A.
评注:任意正整数都有,取m=1又未尝不可。
特殊向量法
例1(06四川,理4).如图, 已知正六边形,下列向量的数量积中最大的是( )
(A) (B)
(C) (D)
解析:如图:不妨设正六边形边长为1,
根据正六边形的性质,得答案为A
评注:特例越简单越好,越方便越好。
例2(06全国Ⅰ,理9)、设平面向量、、的和。如果向量、、,满足,且顺时针旋转后与同向,其中,则( )
A. B.
C. D.
解析:∵,∴不妨取,且起点在原点,在轴正半轴上;则向量、、顺时针旋转后与、、同向,且=2,∴,选D.
评注:一般问题特殊化,不会失去一般性。
特殊点法
例1(08天津卷、理3)函数()的反函数是( )
(A)() (B)()
(C)() (D)()
解析:原函数经过(4,3)点,它的反