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二项式系数的性质22007二项式系数的性质
X
复****回顾:
二项式定理及展开式:
二项式系数
通项
(a+b)1
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)2
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
(a+b)6
1
6
15
20
15
6
1
二项式系数的性质
这样的二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了,在这本书里,记载着类似下面的表:
一
一一
一二一
一三三一
一四六四一
一五十十五一
一六十五二十十五六一
表中除“1”以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和
杨辉三角:
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质1:对称性
性质2:增减性与最大值
当n是偶数时,中间的一项
取得最大值;
先增后减
当n是奇数时,中间的两项
和相等,且同时取得最大值。
当n= 6时,
令:
其图象是7个孤立点
r
6
14
20
O
6
3
f ( r )
A
C
课堂练****br/>2、在(a+b)10展开式中,二项式系数最大的项是( ).
A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项
1、在(a+b)20展开式中,与第五项二项式系数相同的项是( ).
A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项
思考:
在(a+2b)10展开式中,系数最大的项又是什么?
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
性质3:各二项式系数的和
也就是说, (a+b)n的展开式中
的各个二项式系数的和为2n
?
2n
赋值法
例1 证明:在(a+b)n展开式中,奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数的和.
已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
(1)求a0+ a1+ a2+……+a9+ a10的值
(2)求a0+ a2+ a4+……+ a10的值
例题选讲
变式练****br/>解:依题意, n 为偶数,且
例2 已知展开式中只有第10项系数
最大,求第五项。
例题选讲
若将“只有第10项”改为“第10项”呢?
引申: