2014高考考点4 数形结合平面向量.doc

2014高考考点4_数形结合平面向量高频考点解读
考点一向量的几何运算
例1 [2011·四川卷] 如图1-2,正六边形ABCDEF中,++=( )
图1-2
B. C. D.
【答案】D
【解析】++=+-=-=,所以选D.
【解题技巧点睛】当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示,就要根据向量加减法的法则进行,特别是减法法则很容易使用错误,向量(其中O为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终点向量减去起点向量.
考点三向量平行与垂直
例4[2011·广东卷] 已知向量a=(1,2),b=(1, 0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=( )
A. B.
【答案】B
【解析】因为a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),又因为(a+λb)∥c,
所以(1+λ)×4-2×3=0,解得λ=.
例5[2011·课标全国卷] 已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.
【答案】1
【解析】由题意,得(a+b)·(ka-b)=k2-a·b+ka·b-2=k+(k-1)a·b-1=(k-1)(1+a·b)=0,因为a与b不共线,所以a·b≠-1,所以k-1=0,解得k=1.
考点四向量的数量积、夹角与模
例6[2011·广东卷] 若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)=( )

【答案】D
【解析】因为a∥b且a⊥c,所以b⊥c,所以c·(a+2b)=c·a+2b·c=0.
例7[2011·湖南卷] 在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=3,则·=________.
【答案】-
【解析】由题知,D为BC中点,E为CE三等分点,以BC所在的直线为x轴,以AD所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,可得A,D(0,0),B,E,故=,=,所以·=-×=-.
例8[2011·江西卷] 已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为________.
【答案】
【解析】设a与b的夹角为θ,由(a+2b)(a-b)=-2得
|a|2+a·b-2|b|2=4+2×2×cosθ-2×4=-2,解得cosθ=,∴θ=.
例9[2011·课标全国卷] 已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:
p1:|a+b|>1⇔θ∈;p2:|a+b|>1⇔θ∈
p3:|a-b|>1⇔θ∈;p4:|a-b|>1⇔θ∈.
其中的真命题是( )
,p4 ,p3 ,p3 ,p4
【答案】A
【解析】因为>1⇔2+2a·b+2>1⇔a·b>-⇔cosθ=cosθ>-⇔θ∈,所以p1为真命题,>1⇔2-2a·b+2>1⇔a·b<⇔cosθ=cosθ<⇔θ∈,所以p4为真命题,p3为假命题.
【解题技巧点睛】求向量的数量积的公式有两个:一是定义式a·b=|a||b|cos θ;二是坐标式a·b=x1x2+,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.
考点五向量的应用
例10[2011·山东卷] 设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若=λ(λ∈R),
=μ(μ∈R),且+=2,则称A3,A4调和分割A1,A2,已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是( )


、D可能同时在线段AB上
、D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D
【解析】若C、D调和分割点A;B,则=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2.
对于A:若C是线段AB的中点,则=⇒λ=⇒=0,故A选项错误;同理B选项错误;对于C:若C、A同时在线段AB上,则0<λ<1,0<μ<1⇒+>2,C选项错误;对于D:若C、D同时在线段AB的延长线上,则λ>1,μ>1⇒+<2,故C、D不可能同时在线段AB的延长线上,D选项正确.
例11[2011·福建卷] 已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是( )
A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2]
【答案】C
【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图1-2),
又·=-x+y,取