第2部分第3章 节 空间群(二) 群论讲义ppt.ppt

第二部分群论应用
第三章空间群(2)
(三) (纯) 平移群( T 群) 2
一, (纯) 平移群的不可约表示
(1) 一种特殊的寻求不可约表示的方法
根据晶体的周期性, 利用群的知识确定 T 群的不可约表,
而不是由基矢求不可约表示. ( 尚不知道基矢)
(2) T 群不可约表示的分析
[ 思考题: T 群是不是阿贝尔群? ]
[ 答案: 是]
[ 思考题: T 群的不可约表示是几维的? 为什么? ]
[ 答案: 都是一维的, 因为阿贝尔群各元素自成一类, 故不
可约表示数 r 和类数 c 都等于群元数 h ( r = c = h ),
又因为j nj 2 = h ( j = 1 ---- r ), 则nj 皆为1. ] *
因此有 PT = C ( T )  3
其中为本征函数, 是 T 群的基矢, [提问: C ( T ) 是什么? ]
1, C (T) 为 T 群的(一维) 不可约表示( 因是一维, 无需转置),
它是与群元 T 相关的数( 可为复数)
2, C (T) 也就是特征标, [ C ( T ) ] = C ( T )
(3) 一维平移群( 一维晶体): T1 群{ | n1 T 1 }
1, 以元胞 A1为周期重复( 平移对称) ( 见图)
2, 由晶体的周期性边界条件求 T1 群的不可约表示
T1为循环群 t1n1: t11, t12, t13 ----- t1N1 = E ( n1 = 1, 2 ---- N1 )
[提问: 有多少个不可约表示? ]
应有 N1 个一维的不可约表示 Ck1 ( k1 = 1, 2, 3 ------ N1 )
PT = Ck1 ( T ) ------------------------ (1) *
因为 t1N1 = E 4
所以[ Ck1 ( t1 ) ] N1 = 1 ---------------------------------- (2)
则 Ck1 ( t1 ) = exp ( - 2  i P1 / N1 ) =  P1 ------- (3)
其中, = exp (-2i / N1 ) 为1的 N1 次方根, P1 = 1, 2, 3 ---- N1
有了Ck1 ( t1 ) , 其它的 Ck1 ( t1n1 ) = [ Ck1 ( t1 ) ]n1 都可求得.
[ 提问: 这里的 n1 和 k1 各是什么? ]
[ 答案: n1 是群元 t1n1 的标号, k1 是不可约表示 Ck1 的标号]
3, 一维平移群的不可约表示特征标, 即不可约表示本身.
4, 例1: N1 = 3 的平移群的不可 E A1 A12
约表示特征标表与C3 群1 1 1 1
相同( 同构), <见右> 2 1 2
5, 例2: N1 = 6, 与 C6 群相同3 1 2 *
(4) 三维平移群( 三维晶体): T = T1 T2 T3 5
1, 群元: { | R n } = { | n1 t 1 + n2 t 2 + n3 t 3 }
= { | n1 t 1 } { | n2 t 2 } { | n3 t 3 }
= i { | ni t i }
其中, i = 1, 2, 3 ( 三维)
ni = 1, 2, 3 --------- Ni
2, 不可约表示: PT = Ck (T) [ 提问:不可约表示 Ck 是几维的? ]
PT = PT1 PT2 PT3 [ 答案: 一维, 阿贝尔群, r = c = h ]
PT1 PT2 PT3 = Ck1 Ck2 Ck3 = Ck 
Ck = Ck1 Ck2 Ck3 = exp [- 2  i ( P1/N1 + P2/N2 + P3/N3 ) ]
= exp [-2 i i (Pi /Ni)] (i = 1, 2, 3) [提问:多少个不可约表示?]
三维平移群{ | R n } 有 N1 N2 N3 个(群元数) 不可约表示*
(四) 轨道和波矢星 8
一, 共轭表示
(1) H 是G 的不变子群, B 为 H 的群元; A 为G 的群元.
1 和2 是 H 的不可约表示, 相应的矩阵为 D1(B), D2(B)
有 B1 = A B2 A-1, ( B1 和 B2 在大群 G 中同类)
若 D2 ( B1 ) = D2 ( AB2 A-1 ) = D1 ( B2 )
则称1 和2 为群 H 相对于群 G 的共轭表示
(2) 例1: 群C2v 的3 和4 是相对于群C4v 的共轭表示
H: C2v E C2