2015北京市各区中考一模数学压轴题后四个解答题(含答案).doc

2015北京中考一模压轴题
一燕山
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图2
小军遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,AB=6,AC=4,点D为BC的中点,求AD的取值范围.
图1
图3
小军发现老师讲过的“倍长中线法”:如图2,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.
请回答:AD的取值范围是.
参考小军思考问题的方法,解决问题:
如图3,△ABC中,E为AB中点,P是CA延长线上一点,:PA•CD=PC•BD.
解.(1)1<AD<5; ………………………2分
(2)证明:延长PD至点F,使EF=PE,连接BF. ………………………3分
∵BE=AE,∠BEF=∠AEP,
∴△BEF≌△AEP,
∴∠APE=∠F,BF=PA.
又∵∠BDF=∠CDP,
∴△BDF∽△CDP. ………………………4分
∴=,
∴=,
即PA·CD=PC·BD. ………………………5分
(0,3),其对称轴与轴交于点A(2,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线适当平移,使平移后的抛物线的顶点为D(0,).已知点B(2,2),若抛物线与△OAB的边界总有两个公共点,请结合函数图象,求的取值范围.
解:(1)∵抛物线与轴交于点C(0,3),
∴; ………………………1分
∵抛物线的对称轴为,
∴,
解得, ………………………2分
∴抛物线的解析式为. ………………3分
(2)由题意,抛物线的解析式为. ………………………4分
当抛物线经过点A(2,0)时,,
解得. ………………………5分
∵O(0,0),B(2,2),
∴直线OB的解析式为.
由,
得,(*)
当Δ==0,即时, ………………………6分
抛物线与直线OB只有一个公共点,
此时方程(*)化为,
解得,
即公共点P的横坐标为1,点P在线段OB上.
∴的取值范围是. ………………………7分
28.△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,将△AHC绕点H逆时针旋转90°后,点C的对应点为点D,直线BD与直线AC交于点E,连接EH.
(1)如图1,当∠BAC为锐角时,
①求证:BE⊥AC;
②求∠BEH的度数;
(2)当∠BAC为钝角时,
请依题意用实线补全图2,并用等式表示出线段EC,ED,EH之间的数量关系.
解(1)①证明:∵AH⊥BC于点H,∠ABC=45°,
∴△ABH为等腰直角三角形,
∴AH=BH,∠BAH=45°,
∴△AHC绕点H逆时针旋转90°得△BHD,
图1-1
由旋转性质得,△BHD≌△AHC,
∴∠1=∠2. ………………………1分
∵∠1+∠C=90°,
∴∠2+∠C=90°,
∴∠BEC=90°,即BE⊥AC. ………………………2分
②解法一:如图1-1,
∵∠AHB=∠AEB=90°,
∴A,B,H,E四点均在以AB为直径的圆上, ………………………3分
∴∠BEH=∠BAH=45°. ………………………4分
解法二:如图1-2,
过点H作HF⊥HE交BE于F点,∴∠FHE=90°,
即∠4+∠5=90°.
又∵∠3+∠5=∠AHB=90°,
∴∠3=∠4.
在△AHE和△BHF中,
图1-2
∴△AHE≌△BHF, ………………………3分
∴EH=FH.
∵∠FHE=90°,∴△FHE是等腰直角三角形,
∴∠BEH=45°. ………………………4分
(2)补全图2如图; ………………………5分
图2
图2-2
EC-ED=EH. ………………………7分
,如果点P的横坐标和纵坐标相等,(1,1),(,),(,),…,都是和谐点.
(1)分别判断函数和的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的坐标;
(2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点(,),且当时,函数
的最小值为-3,最大值为1,求的取值范围.
(3)直线经过和谐点P,与轴交于点D,与反比例函数的图象交于M,N两点(点M在点N的左侧),若点P的横坐标为1,且,请直接写出的取值范围.
解:(1)令,解得,
∴函数的图象上有一个和谐点(,); ……2分
令,即,
∵根的判别式Δ==-3<0,
∴方程无实数根,
∴函数的图象上不存在和谐点. …………………3分
(2)令,即,
由题意,Δ==0,即,
又方程的根为,
解得,. ………………………4分
∴函数,即,
如图,该函数图象顶点为(2,1),与y轴交点为(0,-3)