第二讲平面问题的基本理论
本讲将系统地平面问题的基本理论-基本方程和边界条件,及两种基本解法,是弹性力学中最具典型性和代表性的内容,是后续内容学****的基础。要求掌握的内容如下:
1、两类平面问题的定义;
2、关于一点应力状态的分析;
3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理方程;
4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立,及圣维南原理的应用;
5、按位移求解方法和按应力求解方法;
本讲学****指南
为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论,要求做到:
1、清楚地了解上述有关问题的提出与分析的方法;
2、自己动手推导公式,以加深理解;
3、及时对内容进行总结,掌握其要点;
本章学****指南
平面应力问题与平面应变问题
平面问题的平衡微分方程
平面问题中的一点应力状态分析
平面问题的几何方程与刚体位移
平面问题的物理方程
平面问题的边界条件
圣维南原理及应用
按位移法求解平面问题
按应力求解平面问题及相容方程
常体力情况下的简化与应力函数
主要内容
§ 平面应力与平面应变问题
任何一个弹性体是空间物体,外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问题。
空间问题的简化与近似:当弹性体具有特殊形状、承受特殊的外力与约束时,可进行简化,使得分析与计算工作量大大减少,所得结果仍然可以满足工程精度要求。
平面问题
哪些问题可简化为平面问题?
1、平面应力问题
平面应力问题条件:
很薄的等厚度薄板,厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。其所受体力、面力和约束均平行于板面,即只是Oxy面内的量,并沿厚度方向不变。薄板的两个表面不受任何外力和约束的作用。
1、平面应力问题
构件几何特征:很薄的等厚度薄板。厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面。
表面面力边界条件:表面不受外力作用
外力与约束:其所受体力、面力和约束均平行于中面Oxy面内,并沿厚度方向Oz不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。因此应力沿厚度方向不变。
因此只剩下Oxy面内的三个应力分量,且只是坐标x, y的函数,沿厚度方向Oz不变,即
应力分量分布特点:由于板很薄,外力沿厚度均匀分布,同时应力沿厚度还是连续分布的,因此应力分量也沿厚度均匀分布,所以板中各点均有:
1、平面应力问题
应变分量分布特点:应变分量也只是坐标x, y的函数,沿厚度方向Oz不变。且gzx=gzy=0,但ez≠0,这表明薄板变形时,两底面将发生畸变。但是由于平板很薄,这种畸变也是很小的。
1、平面应力问题
平面应力问题小结:
1、平面应力问题,就是只有平面应力分量(sx,sy和txy)存在,且仅为x、y的函数的弹性力学问题。
2、厚度较薄的浅梁和深梁、受上部荷载及自重的墙、平板坝的平板支墩等,都属于平面应力问题。
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