2012中考数学压轴综合题.doc

2012中考数学压轴综合题
【01】如图,点P是双曲线上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= (0<k2<|k1|)于E、F两点.
(1)图1中,四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式子表示);
(2)图2中,设P点坐标为(-4,3).
①判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;
②记,S2是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由。
(第21题图)

⑴设P(a,b)
∵ P在双曲线y=k1x上
∴ b=k1a
∴ P(a,k1a)
∴ OB=k1a,OA=-a
∵ PF⊥y轴,PE⊥x轴
∴ E点横坐标与P点横坐标相等,F点纵坐标与P点纵坐标相等
∴ E点纵坐标为k2a,F点横坐标为ak2k1
∴ PE=k1a-k2a,BF=ak2k1
∴ S梯形PBOE=12(OB+PE)•OA=12(k1a-k2a+k1a)•(-a)=-k1+12k2
∴ S△BOF=12BO•BF=12•k1a•ak2k1=12k2
∴ S1= S梯形PBOE+ S△BOF=-k1+12k2+12k2=k2-k1
⑵①EF‖AB
∵P(-4,3)
∴ k1=-12
∴ PB=4,PA=3
∴ PAPB=34
由⑴知BF=k23,AE=k24
∴ PE=12+k24,PF=12+k23
∴,
∴.
∵∠P=∠P,PEPF=PAPB=34
∴△PBA∽△PFE
∴∠PAB=∠PEF
∴ AB‖EF
②S2没有最小值,理由如下:
过E作EM⊥y轴于点M,过F作FN⊥x轴于点N,两线交于点Q.
由上知M(0, ),N( ,0),Q( , ).
而S△EFQ= S△PEF,
∴S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN
=
=
= .
当时,S2的值随k2的增大而增大,而0<k2<12.
∴ 0<S2<24,s2没有最小值.
【02】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a.…………2分
∵AC⊥BC,由抛物线的对称性可知:△ACB是等腰直角三角形,又AB=4,
∴C(m,-2)代入得a= .∴解析式为:y= (x-m)2-2.…………………………5分
(亦可求C点,设顶点式)
(2)∵m为小于零的常数,∴只需将抛物线向右平移-m个单位,再向上平移2个单位,可以使抛物线y= (x-m)2-2顶点在坐标原点.………………………………………7分
(3)由(1)得D(0, m2-2),设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形.
∵△BOD为直角三角形,∴只能OD=OB.……………………………………………9分
∴ m2-2=|m+2|,当m+2>0时,解得m=4或m=-2(舍