自动控制原理第三章劳斯公式.ppt

系统的稳定性和代数稳定判据
一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能,也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中,总会受到外界和内部一些因素的扰动,例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定,就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态,并随时间的推移而发散。因此,如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施,是自动控制理论的基本任务之一。
稳定的充要条件和属性
稳定的基本概念:
设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下,离开了该平衡状态。当外作用消失后,如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态,则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。
线性系统稳定的充要条件:
系统特征方程的根(即传递函数的极点)全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说,特征方程的根应全部位于s平面的左半部。
稳定的充要条件和属性
充要条件说明
如果特征方程中有一个正实根,它所对应的指数项将随时间单调增长;
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根,它的对应项是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根,它所对应于一个常数项,系统可在任何状态下平衡,称为随遇平衡状态;
如果特征方程中有一对共轭虚根,它的对应于等幅的周期振荡,称为临界平衡状态(或临界稳定状态)。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。
稳定区
不稳定区
临界稳定
S平面
对于一阶系统, 只要都大于零,系统是稳定的。
对于二阶系统,
只有都大于零,系统才稳定。(负实根或实部为负)
对于三阶或以上系统,求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。
充要条件说明
注意:稳定性是线性定常系统的一个属性,只与系统本身的结构参数有关,与输入输出信号无关,与初始条件无关;只与极点有关,与零点无关。
二、劳斯稳定性判据
设线性系统的特征方程为则该系统稳定的充要条件为:
特征方程的全部系数为正值;
由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列也为正。
劳斯判据
设系统特征方程为:
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
劳斯表
s6
s5
s0
s1
s2
s3
s4
1
2
4
6
3
5
7
(6-4)/2=1
1
(10-6)/2=2
2
7
1
2
4
6
3
5
7
1
0
(6-14)/1= -8
-8
4
1 2
劳斯表介绍
劳斯表特点
4 每两行个数相等
1 右移一位降两阶
2 行列式第一列不动
3 次对角线减主对角线
5 分母总是上一行第一个元素
7 第一列出现零元素时,
用正无穷小量ε代替。
6 一行可同乘以或同除以某正数
ε
2
+8
ε
7
ε
-8(2 +8) -
ε
7
ε
2
7
ε
1 2 7
-8
ε
劳斯判据
系统稳定的必要条件:
有正有负一定不稳定!
缺项一定不稳定!
系统稳定的充分条件:
劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
特征方程各项系数
均大于零!
稳定吗?
劳斯判据例子
[例]:特征方程为: ,试判断稳定性。
[解]:劳斯阵为:
稳定的充要条件为:
均大于零
且
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论:
用一个正数去乘或除某整行,不会改变系统的稳定性结论;
劳斯阵第一列所有系数均不为零,但也不全为正数,则系统不稳定。表示s右半平面上有极点,极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数。
[例]:系统的特征方程为:
-1 3 0( 2)
1 0 0( )
劳斯阵第一列有负数,系统是不稳定的。其符号变化两次,表示有两个极点在s的右半平面。
劳斯判据特殊情况