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圆的参数方程
r
x
y
o
p0
p
o1
o
x
y
r
知识回顾
1 若以(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程为:
(x-a)2+(y-b)2=r2
标准方程的优点在于:
明确指出圆的圆心和半径
D2+E2-4F>0
2若
时,
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
表示一个圆,称为
圆的一般方程
思考:圆是否还可用其他形式的方程来表示?
r
x
y
o
p0
p
点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P,
设点P的坐标是(x,y)
①
我们把方程组①叫做圆心为原点,半径为r的圆的参数方程, 是参数
由三角函数的定义,点P的横
坐标x﹑纵坐标y都是的函数
(a,b)半径为r的圆的参数方程呢?
圆心为O1(a,b),半径为r的圆可以看成由圆心为原点O半径为r的圆平移而得到的,
平衡向量V =OO1=(a,b)
设P1(x1,y1)为圆O上任一点,
设P(x,y)为圆O1上与P1对应的点,
即
为圆心(a,b)为半径r为的圆的参数方程
所以
P1(x1,y1)
则有:
P(x,y)
o
x
y
一般的,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,
即并且对于t 的每一个允值,

由方程组所确定的点都在这条直线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x,y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数。参数方程中的参数可以是有物理,几何意义的变数,也可以没有明显意义的变数。
相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系方程叫做圆的普通方程。
③
③
③
3 参数方程与普通方程的互化
注:1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时,通过参数建立间接的联系。
普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量与之间的直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量与之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式;参数方程可以与普通方程进行互化。
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,
(x+1)2+(y-3)2=1,
∴参数方程为
(θ为参数)
例2、将下列参数方程化为普通方程:
(1)
(2)
(3)
(1)(x-2)2 + y2 = 9
(2)y = 1- 2x2(- 1≤x≤1)
步骤:(1)消参;
(2)求定义域。
练****br/> :已知圆O的参数方程是
(0≤<2 )
⑴如果圆上点P所对应的参数,则点P的坐标是
例6 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?
P
x
y
O
A
M
解1: 设点M的坐标是(x,y).因为圆x2+y2=16的参数方程为
所以可设点P的坐标为(4cos , 4sin ).由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为
所以,线段PA的中点M的轨迹是以点(6,0)为圆心,2为半径的圆。