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圆的参数方程
这三个方程都是和x,y有关的方程;前两个方程是直接给出的关于x和y之间的方程,后一个曲线上的点的坐标之间的关系不是直接的,而是通过第三个变量间接地联系起来,也就是间接给出x和y之间的关系式。
我们把直接给出的方程称为普通方程,而间接给出的方程称为参数方程。
x
y
P0
P(x,y)
O
∠P0OP=θ
r
设P(x,y)是圆O上任意一点,
根据三角函数的定义可得点P(x,y)的横坐标x、纵坐标y都为的函数,即
并且对于的每一个允许值由方程组(1)所确定的点都在圆O上,方程组(1)叫做圆O的参数方程.
在平面直角坐标系中,如果曲上任意一点 P 的坐标 x、y都是某个变数t的函数,即
并且对于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 P 都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x, y之间关系的变数 t,叫做参变数,简称参数。
相对于曲线的参数方程来说,
以前学过的直接给出曲线上的点的坐标 x,y 之间关系的方程,F(x,y)=0
叫做曲线的普通方程。
例:x2 +y2 =r2
圆的参数方程
如果点P在圆上作匀角速度ω的运动,由匀角速度公式θ= ωt可得:
说明:这两个方程都表示以原点为圆心,以R为半径的圆,但一个是以旋转角为参数,另一个是以时间为参数;所以同一曲线,由于选取的参数不同,参数方程可以有不同的形式。
圆的参数方程
2、圆心在C(a,b),半径为R的圆的参数方程
C(a,b)
y
R
•
分析:根据坐标平移,把原点移到C(a,b)
,则在X’O’Y’中,此圆可表示成:
,再利用平移
公式可得在XOY中此圆的参数
方程:
(1)参数方程与
是否表示同一曲线?为什么?
解:当θ∈[0,2π]时,x=3cosθ∈[-3,3] 且y=3sinθ∈[-3,3],
而当θ∈[0,π]时,x=3cosθ∈[-3,3] 且y=3sinθ∈[0,3]
所以,前一个参数方程表示整个x2+y2=9,而后一个参数方程仅表示半个圆
(2)参数方程(1)与
(2)是否表示同一曲线
解:对于(2)中θ∈[0,2π)
x=3sinθ∈[-3,3];y=3cosθ∈[-3,3]
且消去参数后,参数方程
θ∈[0,2π)
也化为 x2+y2=9
所以两者都表示同一个圆。