实变函数(2).ppt

(补充)例1
例 2
a a+1/k f(x)
第三节对等与基数
第一章集合
定义1:设X,Y是两个非空集合,若依照对应法则 f,对X中的每个x,均存在Y中唯一的y与之对应,则称这个对应法则 f 是从 X 到 Y 的一个映射,
记作 f: X→Y
或:设X,Y是两个非空集合,f是X×Y的子集,且
对任意x∈X,存在唯一的y ∈Y使(x,y) ∈ f,则f 是从
X 到 Y的一个映射
注:集合,元素,映射是一相对概念
略:像,原像,像集,原像集,映射的复合,单射,满射,
一一映射(双射)
1 映射的定义
[ ]
例
注:模糊集:
参见:《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》,
2、实数的加法运算+: R×R→R (群,环,域)
1、定积分运算为从[a,b]上的可积函数集
到实数集的映射(函数,泛函,算子, 变换)
3、集合的特征函数
(集合A与特征函数互相决定)
称为集A的特征函数,
证明的过程略
2 集合运算关于映射的性质(像集)
集合运算关于映射的性质(原像集)
注:6),7)一般不能使等号
成立,6)等号成立当且仅当
f为单射, 7)等号成立当且仅
当f为满射
证明的过程略
3 对等与基数
1)设A,B是两非空集合,若存在着A到B的
一一映射(既单又满),则称A与B对等,
注:称与A对等的集合为与A有相同的
势(基数),记作
势是对有限集元素个数概念的推广
记作
约定
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...
1,3,5,7,9,11,13,15,...
2,4,6,8,10,12,14,16...
n
2n-1
2n
0,1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 , -4,...
…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...
例
有限集与无限集的本质区别:
无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数(对等)
且一定能做到,而有限集则不可能。
例
Galileo在17世纪最
先考虑自然数与自
然数平方的多少,
1870Cantor开始系
统考虑.