第二章控制系统的数学模型
Chapter 2 Mathematical model of control system
传递函数
传递函数的定义
传递传递函数的基本性质
控制系统的典型环节及传递函数
微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难:
1)微分方程式的阶次一高,求解就有难度,且计算的工作量大。
2)对于控制系统的分析,不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应,而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求,显然用微分方程式去描述是难于实现的。
在控制工程中,一般并不需要精确地求系统微分方程式的解,作出它的输出响应曲线,而是希望用简单的办法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征,能够判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响。
下面以一个简单的R-C电路为例,说明卷积积分的应用。
已知一R-C电路如图2-12所示,其中输入电压为,输出为电容两端的充电电压。由基尔霍夫定律得
因为,则上式便改写为
这就是该电路的微分方程式。
方程两端进行拉氏变换
传递函数(transfer function)的定义
若则有
其中,
若则有
系统的传递函数定义为与之比,即
于是得
其中
在零初始条件(
)下,线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。
据此得出线性定常系统(或元件)传递函数的定义:
输入量施加于系统之前,系统处于稳定工作状态,即t < 0 时,输出量及其各阶导数也均为0
例2-1 R-L-C串联电路
方法一
方法二运算法
传递函数:
传递函数的求法
先列写系统的微分方程,然后根据传递函数的定义求取
画出运算电路模型,将电路元件变为运算阻抗,利用电路分析方法求取。
适用于线性定常系统
传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律
只取决于系统的结构和参数,与外施信号的大小和形式无关
一个传递函数只能表示一个输入与输出之间的关系。对于多输入—多输出的系统,用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出间的关系。
传递函数的基本性质
传递函数的拉氏反变换是脉冲响应g(t).
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