有限元分析及工程应用-2016第九章.ppt

《有限元基本理论及应用》
第九章电磁场问题的有限元分析
电磁场基本理论
(1)麦克斯韦方程
主要由:全电流定律、法拉第电磁感应定律、高斯电通定律(亦简称高斯定律)和高斯磁通定律(亦称磁通连续性定律)组成。

无论介质和磁场强度H(A/m)的分布如何,磁场中磁场强度沿任一闭合曲线的线积分等于穿过该积分路径所确定曲面S的电流的总和,或者说该线积分等于积分路径所包围的总电流。
它包括传导电流(自由电荷产生)和位移电流(电场变化产生),即有

闭合回路中的感应电动势与穿过此回路的磁通量的时间变化率成正比,可表示为:
电磁场基本理论
(1)麦克斯韦方程

在电场中,不管电解质与电通密度的分布如何,穿过真空或自由空间中任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的自由电荷量,即该电通量等于电通密度矢量对此闭合曲面的积分,可表示为:

在磁场中,不管磁介质与磁通密度的分布如何,穿出任何一个闭合曲面的磁通量恒等于零,即为磁通量对此闭合曲面的有向积分,高斯磁通定律的积分形式为:
变化的电场和变化的磁场间相互激发、相互联系,从而形成了统一的电磁场。
电磁场基本理论
(1)麦克斯韦方程
电流连续性方程可表示为
体积V内电荷的变化必然伴随着包围体积V的封闭曲面S上的电荷流动,即电荷既不能被创造,也不能被消灭,只能从物体的一部分转移到物体的另一部分。
四个方程的物理意义依次为:①传导电流和时变电场均激发时就磁场;②时变磁场激发时变电场;③穿过任一封闭面的电通量等于封闭面所包围的自由电荷量;④穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。
电磁场基本理论
(2)一般形式的电磁场微分方程

定义2个量中的一个是矢量磁势A(亦称磁矢位),另一个是标量电势φ
矢量磁势定义为:
标量电势定义为:

满足法拉第电磁感应定律和磁场高斯定律。
磁场偏微分方程
电场偏微分方程
采用有限元法对式进行数值求解,即可得到磁势和电势的场分布值,然后再经过转化(即后处理)可得到电磁场的各种物理量,如磁感应强度、储能等。
电磁场基本理论
(2)一般形式的电磁场微分方程
3. 本构关系
场量与场量之间的关系,它决定于电磁场存在媒质的特性。
在自然界中,电最简单的媒质是线性、均匀和各向同性的媒质,即可称为简单媒质。
线性媒质是指媒质的参数与场强的大小无关;
均匀媒质是指媒质参数与位置无关;
各向同性媒质是指媒质参数与场强的方向无关。
若媒质参数与电磁场的频率无关,则称为非色散媒质,否则称为色散媒质。
对于简单媒质,其本构关系为
电磁场基本理论
(2)一般形式的电磁场微分方程

狄利克莱(Dirichlet)边界条件、诺依曼(Ncumann)边界条件以及它们的组合。
在磁场微分方程的求解中,只有在边界条件和初始条件的限制时,电磁场才有确定解。通常称求解此类问题为边值问题和初值问题。
(1) 两媒质间的界面
在两媒质的边界面上,如果既没有面电流又没有面电荷存在,则边界条件的数学表达式为:
对于电场有
对于磁场有
场的连续性条件,且只有两个是独立的。
电磁场基本理论
(2)一般形式的电磁场微分方程
如果在界面上确实存在有面电流密度和面电荷密度
(2)理想导体面
当两媒质之一如媒质2是理想导体时,由于理想导体内部不存在场:
退化
边界始终有面电流和面电荷存在。
(3)非理想导体面
当媒质2是非理想导体时,则导体边界面上的电场和磁场关系为
或者
媒质2的归一化特征阻抗。
电磁场基本理论
(3)电磁场求解的有限元法

简化为二阶微分方程:
其边界条件为:
问题的精确解为:
两平行大板可以简化为一个一维问题,则将整个求解区域(0,1)分为3个子域
电磁场基本理论
(3)电磁场求解的有限元法

代入上式