有限元分析及工程应用-2016第六章.ppt

《有限元基本理论及应用》
第六章接触问题的有限元分析
接触问题存在两个较大的难点:
1)在求解问题之前,接触区域不确定,表面之间是否接触或分开是未知的、瞬时变化的,它由载荷、材料、边界条件和其它因素而定;
2)大多的接触问题需要计算摩擦,有多种摩擦及其模型可供挑选,但它们都是非线性的,摩擦使问题的收敛性变得困难。
接触问题基本类型:刚体─柔体接触,柔体─柔体接触。
在刚体─柔体的接触中,接触面的一个或多个被当作刚体(与它接触的变形体相比,有大得多的刚度),一般情况下,一种软材料和一种硬材料接触时,问题可以被假定为刚体─柔体的接触,许多金属成形问题归为此类接触;
而柔体─柔体的接触,是一种更普遍的类型,在这种情况下,两个接触体都是变形体(有近似的刚度)。
接触边界的有限元算法
(1)直接迭代法
在用有限元位移法求解接触问题时,首先假设初始接触状态形成系统刚度矩阵,求得位移和接触力后,根据接触条件不断修改接触状态,重新形成刚度矩阵求解,反复迭代直至收敛。
每次迭代都要重新形成刚度矩阵,求解控制方程,而实际上接触问题的非线性主要反映在接触边界上,因此,通常采用静力凝聚技术,使得每次迭代只是对接触点进行, 大大提高了求解效率。
虚力法:用沿边界的虚拟等效压力来模拟接触状态,这样在每次迭代中并不重新形成刚度矩阵,所做的只是回代工作。
有限元混合法:以结点位移和接触力为未知量,并采用有限元形函数插值,将接触区域的位移约束条件和接触力约束条件均反映到刚度矩阵中去,构成有限元混合法控制方程
接触边界的有限元算法
(1)直接迭代法
对弹塑性接触问题,在求解过程中接触非线性和材料非线性都需要迭代求解。
通常是利用系统刚度矩阵的变化来反映材料非线性的影响,在每次塑性修正迭代过程中都要结合对接触状态的判断进行接触迭代计算,并且,荷载增量更是受到不允许在一个增量步中出现两种非线性的限制。
接触边界的有限元算法
(2)接触约束算法
接触约束算法就是通过对接触边界约束条件的适当处理,将约束优化问题转化为无约束优化问题求解。
根据无约束优化方法的不同,可分为罚函数方法和Lagrange 乘子法。
1)罚函数方法
将接触非线性问题转化为材料非线性问题。分为障碍函数法和惩罚函数法
接触边界的有限元算法
(2)接触约束算法
1)罚函数方法
障碍函数法假设接触面之间充满某虚拟物质,在未接触时其刚度趋于零,不影响物体的自由运动,在接触时其刚度变得足够大,能阻止接触物体之间的相互嵌入。
常用的间隙元等方法均属于此类,该方法处理简单,编程方便,只是在传统有限元分析中增加一种单元模式而已;
惩罚函数法对接触约束条件的处理是通过在势能泛函中增加一个惩罚势能。
惩罚因子
嵌入深度,是节点位移的函数
接触问题就等价于无约束优化问题:
接触边界的有限元算法
(2)接触约束算法
1)罚函数方法
其中
由于人为假设了很大的罚因子,可能引起方程的病态。
2) Lagrange 乘子法与增广Lagrange 乘子法
约束最小化问题转化为无约束最小化问题
接触边界的有限元算法
(2)接触约束算法
2) Lagrange 乘子法与增广Lagrange 乘子法
代入
Lagrange 乘子法中接触约束条件可以精确满足
增广Lagrange 乘子法:最直接的一种方法是构造修正的势能泛函:
接触边界的有限元算法
(2)接触约束算法
2) Lagrange 乘子法与增广Lagrange 乘子法
相应的控制方程为:
考虑Lagrange 乘子的物理意义,可将其用接触对的接触应力代替,通过迭代计算得到问题的正确解。
在迭代过程中,接触应力作为已知量出现,这样既吸收了罚函数方法和Lagrange 乘子法的优点,又不增加系统的求解规模,而且收敛速度也比较快。
另一种增广Lagrange 乘子法主要是为了弥补Lagrange 乘子法中控制矩阵存在零主元的弱点:
接触边界的有限元算法
(2)接触约束算法
2) Lagrange 乘子法与增广Lagrange 乘子法
解收敛于
解
系统的控制方程写为: