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用数形结合的方法来解决中学数学问题 毕业论文.doc


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用数形结合的方法来解决中学数学问题
【摘要】数形结合是一种重要的数学思想方法, 贯穿于数学的各个分支. 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来,使抽象思雄与形象思维相结合,
在解题中借数解析形,以形表达数量关系. 有些数量关系,借助几何图形的直观描述,可以使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。数形有机的结合,使问题化繁为简,化难为易,化抽象为具体,从而达到简洁、明了的解题效果。提高数形结合的灵活性,有助于思维能力的培养, 有利于解题能力的提高. 数形结合在中学数学中有广泛的应用, 本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。
【关键词】数形结合方程问题不等式问题最值问题函数问题复数问题
1 引言
数形结合是一种重要的数学思想. 所谓数形结合, 就是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,一方面借助形的直观性来阐明数量之间的联系,另一方面是借助于数的精确性来阐明形的某些属性.
华罗庚先生曾指出: “数缺形时少直观, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔裂分家万事非. ”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质. 注意这一思想方法的渗透,有利于解题能力的培养,有利于优化思维品质,并能在认知结构中有机地沟通数学各分支的内在联系.
在处理某些数学问题时, 我们可以从问题的结构特征入手, 充分挖掘出问题的几何背景, 再利用数形结合的方法建立起几何模型, 很多问题便迎刃而解, 且解法简捷. 避免复杂的计算与推理,这不仅培养了学生的观察力,联想力,,贯穿于整个中学数学,本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。
2 方程问题
方程是中学数学常见的学****研究对象,尤其是二次方程,是学****的重点和难点。而方程、不等式、函数又有密切联系,是知识的融汇点,这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体。
方程实根的正负情况
用代数方法研究方程根的情况,,利用方程与函数的关系,画出函数图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理,则形象直观,过程明了.
例1 为何值时,二次方程有一个正根,一个负根?
解:设
二次方程,∴ a1.
(1)当时,抛物线开口向上,如图
方程有一个正根,一个负根

此时,不存在。
(2)当时,抛物线开口向下,如图
方程有一个正根,一个负根


综上所述,当时,方程有一个正根,一个负根。
例2 已知二次方程有一正根和一负根,求的取值范围.
解:设
二次项系数大于0,函数图象开口向上
∴函数与轴的交点落在轴两侧只需.
解之得:-或.
例3 已知二次方程有两个正根,求的取值范围.
解:.
所以有


分别解两个不等式组,求交集得的取值范围是.
例4 已知方程有两个正根,且一根在(0,1),另一根在(1,2),求的取值范围.
解:由已知得:
所得不等式组表示平面上一区域,()与(1,2)
得最大斜率
连接得最小斜率.
∴.
利用函数图像来研究二次方程,要注意抛物线开口方向的讨论。分析题意,提取作图的限制条件,列出满足条件的方程,做到不重不漏。
求方程实根的个数
有些方程并不需要求出实根,
,将方程实根的个数转化为曲线的交点的个数.
例5 求方程的实根个数。
解:此题若直接解方程则较为困难,
若利用数形结合,将代数问题转化为几
何问题,则较为简单。即求两曲线的交
点的个数。
做出函数和的图象,
从图中可以看出两曲线的交点M只有一个,
∴方程只有一个实数解。
例6 求方程的解的个数.
解:作出函数

察图象,两函数图象
有3个交点.
∴原方程的解有3个.
例7 试判断方程的解的个数。
解:要解出方程是不可能的。但题目只需要知道方程解的个数。若能突破传统的解方程的思想,利用图形来处理,则轻而易举。方程的解的个数实质是与图象的交点的个数。分别作出和时的图象,由图可知两曲线有两个交点。
例8 当a为何值时, 关于的方程无解?有一解?有两解?
解:由题意得

设, ,则
的图象为过定点(1 ,0) 的直线系, 如图所示.
直线:为切线,切点为(2 ,4).
由图可知
(1) 方程(*)无解直线系斜率满足。
(2) 方程(*) 有

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