广义hirotasatsuma型耦合kdv方程的精确解.docx

Abstract
By introducing gauge transformation of the Lax pair of the generalized Hirota-Satsnma coupled Korteweg-de Vries equation with three potentials, we propose a Darboux transformation of a systematic algebraic
algorithm which is used to solve the generalized Hirota-Satsuma coupled Korteweg-de Vries equation is an印plication,explict soliton solution of it is given.
Key words: soliton;Darboux transformation;gauge transformation; generalized Hirota-Satsuma coupled KorteWe争de Vries equation;explict solution
一引言
,到1895年荷兰著名数学家Korteweg和他的学生de Vries在对上述孤波进行分析的基础上,,人们对孤子理论有了第一次亲密接触.
由于对孤立子方程的研究,不仅反映一类非常稳定的自然现象,体现了一大类相互作用的若干特征,为许多应用问题(如光孤子通讯)提供启示,而且孤立子方程作为一类特殊的偏微分方程,,从20世纪七十年代以后,一个研究非线性发展方程与孤立子的热潮在学术界蓬勃地开展起来.
随着研究的深入,大批具有孤子解的非线性波动方程在物理各领域不断被揭示出来, 其中包括等离子体中的非线性SchrSdinger方程,,这些方程具有如都存在Lax对和无穷守恒德,都存在等谱流与非等谱流,,对孤子方程的求解技术也取得了长足的进展,产生诸如反散射法,Hirota双线性导数法,B茜cklund变换法, 代数几何法,极点展开法,Painlev6方法,F展开法,Darboux变换法等方法[1—21】.
,[9】研究了一个二阶线性
常微分方程(现在称为一维SchrSdinger方程)的特征值问题;
一九。一Ⅱ(霉)砂=A砂 ()
其中,u(x)是给定的函数,称为势函数,:设u(x)和毋(z,A) 是满足()式的两个函数,对任意给定的常数知,令f(x)=≯(z,知),即,是()式当A=x0的—个解,则由
旧善躲啼∽" ∽z,
所定义的函数露,≯(z,A)一定满足
一无。一面(z)=A西. ()
这样,借助于特解f(x)=≯(z,Ao),由变换()(,≠0时,它是有效的)得到(面,西)
是()的新解,(),人们把它引入到孤立子和可
㈠vt=兰--vxzx+掣3uv:e,毗’ ∞4,
卜--氧v—xz。+36u啦vx,)+3‰ ∽s,
2
二 广义Hirota-Satsuma型耦合KdV方程的达布变换
本节考虑广义Hirota-Satsuma型耦合KdV方程
巨兰≯咄 () 从文献【29】中,我们知道它可以从下面的Lax对的相容性条件得到
谱问题及时间发展式为:
吒=u(8,A)垂, ()
包=y(8,A)西 ()
其中:
O 0 l O
0 O 0 1 U=
缸+A 钉0 0
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垂=(≯1,锄,也,机)f,s=(仳,口,叫)?,
仉一K+慨Ⅵ=0 就可以得到方程()
3
奎梅_面’粼粥讨论谱问题()()『入谱问题()(23)的规范变换: ‘ ”一八“,“,耽7巳
雪=T垂
()
其中,T由下式确定;
乃+?u=观
()
正+r矿=髓
()
黧