2004年数学三试题分析、详解和评注.doc

2004年数学三试题分析、详解和评注
填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1) 若,则a =,b =.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为,且,所以
,得a = 1. 极限化为
,得b = -4.
因此,a = 1,b = -4.
【评注】一般地,已知= A,
(1) 若g(x) ® 0,则f (x) ® 0;
(2) 若f (x) ® 0,且A ¹ 0,则g(x) ® 0.
完全类似的例题见《数学复****指南》,P43第1(3)题,P44第2(10)题、
第6题,《数学题型集粹与练****题集》,《数学三临考演****P79第7题,
《考研数学大串讲》P12例17、19.
(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定,其中函数g(y)可微,且g(y) ¹ 0,
则.
【分析】令u = xg(y),v = y,可得到f (u , v)的表达式,再求偏导数即可.
【详解】令u = xg(y),v = y,则f (u , v) =,
所以,,.
【评注】本题属基本题型.
类似例题在一般教科书上均可找到.
(3) 设,则.
【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x - 1 = t,再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x - 1 = t,
=.
【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解.
完全类似的例题见《数学复****指南》,《数学三临考演****P61
第2题,P68第15题,《考研数学大串讲》P41例14.
(4) 二次型的秩为 2 .
【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换
或配方法均可得到答案.
【详解一】因为
于是二次型的矩阵为,
由初等变换得,
从而, 即二次型的秩为2.
【详解二】因为
,
其中.
所以二次型的秩为2.
【评注】完全类似的例题见《数学复****指南》, 而原题可见文登数学辅导班上讲授的例子.
(5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则.
【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】由于, 的分布函数为

故
.
【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.
(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,
和分别是来自总体和的简单随机样本, 则
.
【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.
【详解】因为, ,
故应填.
【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.
完全类似的例题见《数学复****指南》, 《数学三临考演****br/>第6小题或文登数学辅导班上讲授的例子.
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7) 函数在下列哪个区间内有界.
(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ]
【分析】如f (x)在(a , b)内连续,且极限与存在,则函数f (x)
在(a , b)内有界.
【详解】当x ¹ 0 , 1 , 2时,f (x)连续,而,,
,,,
所以,函数f (x)在(-1 , 0)内有界,故选(A).
【评注】一般地,如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续,则f (x)在闭区间[a , b]上有界;
如函数f (x)在开区间(a , b)内连续,且极限与存在,则函数f (x)
在开区间(a , b)内有界.
完全类似的例题见《数学题型集粹与练****题集》,《数学三临考演****P51
第15题.
(8) 设f (x)在(-¥ , +¥)内有定义,且,
,则
(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ D ]
【分析】考查极限是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元,
可将极限转化为.
【详解】因为= a(令),又g(0) = 0,所以,
当a = 0时,,即g(x)在点x = 0处连续,当a ¹ 0时,
,即x = 0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x = 0处的连续性
与a的取值有关,故选(D).
【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的