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5.2留数及其应用.ppt

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文档列表 文档介绍

第五章
复变函数与积分变换
留数及其应用
第二节留数
一、留数的引入
二、留数定理及留数的求法
三、无穷远点的留数
一、留数的引入
设
为
的一个孤立奇点;
内的洛朗级数:
在
.
的某去心邻域
邻域内包含
的任一条正向简单闭曲线C
0
(高阶导数公式)
0 (柯西-古萨基本定理)
定义
记作
的一个孤立奇点, 则沿
内包含
的
任意一条简单闭曲线 C 的积分
的值除
后所得的数称为
以
如果
二、留数定理及留数的求法
说明:
2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求
被积函数在C内各孤立奇点处的留数.

在区域 D内除有限个孤
外处处解析, C 是 D内包围各奇
点的一条正向简单闭曲线, 那么
立奇点
函数
证
[证毕]
两边同时除以得
.
.
.
如图,根据复合闭路定理,

(1) 如果
为
的可去奇点,
如果为的简单极点, 那末
规则1
成洛朗级数求
(2) 如果
为
的本性奇点,
(3) 如果
为
的极点, 则有如下计算规则
展开
则需将
例1 求
在孤立奇点处的留数.
解
规则2
如果
设
及
在
都解析,
证
的一级零点,
为
的一级极点.
为
那末
为
的一级极点,
且有

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