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第三章函数逼近及最小二乘法
§1 内积空间及函数的范数
定义1 设是定义在(a,b)上的非负函数,且满足:
1)存在(n=0,1,2,…)
2)对非负的连续函数g(x),若

则在(a,b)上有g(x)=0,则称为(a,b)上的权函数。
定义2 设f(x),g(x)为[a,b]上的连续函数,为(a,b)上的权函数,称
=
为函数f(x)与g(x)在[a,b]的内积。特别当=1时,上式变为
=
设表示在区间[a,b]上连续函数的全体,那么定义了内积之后,就变成了一个内积空间。显然有
=
为一个非负值,因此我们有
定义3 对,称

为的欧氏范数(又称2-范数)。
其实,我们还经常用到函数的其他范数。比如,

n维向量空间中两个向量正交的定义也可以推广到连续内积空间中.
定义4 若,满足
= =0
则称函数f(x)与g(x)在[a,b]上带权正交.
若函数族满足

则称函数族是[a,b],若,就称之为标准正交函数族.
由高等数学的知识,我们知道, Foureir级数展开中函数族 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……即为上带权=1的正交函数族.
如同线性代数中的向量组线性无关概念一样,在此也有函数组的线性无关概念.
定义5设函数组在[a,b]上连续,若
当且仅当时成立,则称函数族在[a,b]。
若函数族满足任何有限个组成的函数组都是线性无关的。则称此函数族为线性无关函数族。
例如:1,即为任意区间[a,b]上的线性无关函数族。
若在[a,b]上是线性无关的函数组,且是任意实数,则
的全体是C[a,b]中的一个子集,记作
称为由生成的连续函数空间。
判断线性无关的条件由下定理给出,
定理在[a,b]上线性无关的充要条件为。
§2 正交多项式
一般地,给定区间[a,b]及权函数后,由1,可以用Schmidt正交化方法构造出n次正交多项式,其公式为:
, (2-1)

这样构造的正交多项式有以下性质:
①是最高项系数为1的k次多项式;
②任何k次多项式均可表示为前k+1个多项式的线性组合;
③对于,有,并且与任一次数小于k的多项式正交。
例: 给定区间[0,1]及权函数,由1,用Schmidt正交化方法构造出前3个正交多项式。
解由公式(2-1)知,,,
,
其中,,,
,由此得
,
得
=。
2-1 Legendre正交多项式
Legendre正交多项式为区间[-1,1]及权函数时,由1,用Schmidt正交化方法构造出的n次正交多项式。它是由Legendre于1785年首先引入的,1814年Rordrigul给出了更简单的表示式,即
(2-2)
易见,的最高次项的系数与的系数是相同的,所以的最高次项,的系数为,从而得到最高次项系数为1的Legendre正交多项式为
(2-3)
以下是Legendre正交多项式的几个重要性质:
性质1 正交性
(2-4)
证明令,显然设是[-1,1]上 n阶连续可导函数,由分部积分
若是次数小于n的单项式时,,故得
当时。
若则



又代入上式得
,得证。
性质2 奇偶性
证明由于为偶函数,n为偶数时,相当于偶函数求偶次导数,结果仍为偶函数。n为奇数时,相当于偶函数求奇次导数,结果为奇函数。
性质3 递推关系
(2-5)
证明由于为一个n+1次多项式,所以它可以表示成
(2-5)
两边乘以,并在[-1,1]上积分,再由正交性知
(2-6)
当时,为一个次数小于等于n-1的多项式,为的线性组合,与它们正交,所以(2-6)式左端等于0,得,
当时,(2-6)式中为奇函数,(2-6)式左端等于0,∴。由以上讨论知(2-5)式变为
(2-7)
比较(2-7)两端的系数,得,在(2-7)式中取x=1,并注意到Legendre正交多项式满足(得到,∴。得证。
性质4 在[-1,1]内有n个不同的零点。
性质5 在[-1,1]区间上,所有最高项系数为1的n次多项式中,Legendre正交多项式的欧氏范数(2-范数)最小。即。
其中J={最高项系数为1的n次多项式}。
2-2 Chebyshev正交多项式
Chebyshev正交多项式为区间[-1,1]及权函数时,由1,用Schmidt正交化方法构造出的n次正交多项式。其表达式为
(2-8)
若令,则有
Chebyshev正交多项式有如下性质:
性质1 有以下递推关系

(2-9)
证明∵

两式相加,得,并由及得证。
性质2 的