中考专题三 最短路线问题怎么出、怎么考、怎么解.doc

中考专题三_最短路线问题怎么出、怎么考、怎么解最短路线问题
考查知识点:“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。
原型:“饮马问题”,“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”,出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
1、(2009年达州)在边长为2㎝的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值).
A
D
E
P
B
C
2、(2009年抚顺市)如图所示,正方形的面积为12,是等边三角形,点在正方形内,在对角线上有一点,使的和最小,则这个最小值为( )
A. B. D.
3、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为( )
A、 B、 C、 D、3
(动点,作A关于BC的对称点A',连A'D交BC于P,涉及勾股定理,相似)
4、(07南通)已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0,1)、B(0,3), =ax2+bx+c经过A、D(3,-2)、P三点,且点P关于直线AC的对称点在x轴上.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式及点P的坐标;
(3)设M是y轴上的一个动点,求PM+CM的取值范围.
A
B
O
(第4题图)
D
x
y
A
B
O
(第28题图)
D
x
y
分析:转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想,在研究数学问题时,我们通常是将未知的问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题等,我们也常常在不同的数学问题之间
互相转化,可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。本例第三问比较灵活,需要同学们结合所学知识(特别要联想到三角形三边的关系及对称的相关知识)灵活运用.
   解:(1)由A(0,1) 、B(0,3),得AB=△ABC是等腰三角形,且点C在x轴的正半轴上,得AB=AC=2,故OC= = ,从而C( ,0).
设直线BC的解析式为y=kx+3,则 k+3=0,. 故k= - .
∴直线BC的解析式为y=- x+3.
(2)由抛物线y =ax +bx+c关于y轴对称,得b=(0,1)、D(3,-2),得c =1,9a+c=-=- .
∴抛物线的解析式为y =- x +1.
在Rt△AOC中,OA=1,AC=2,易得∠ACO=30°;在Rt△BOC中,OB=3,OC= ,易得∠BCO=60°,故CA是∠,点P关于直线AC的对称点在x轴上,于是符合条件的P点就是直线BC与抛物线y =- x +1的交点.
设P点的坐标为(x, - x+3),代入y =- x +1解得x= 或x=2 .
∴ P( ,0)或P(2 ,-3).
(3)要求PM+CM的取值范围,可先求PM+CM的最小值.
①当点P的坐标是( ,0)时,点P与点C重合,故PM+CM=,PM+CM没有最大值,故PM+CM≥2 ;
②当点P的坐标是(2 ,-3)时,由点C关于y轴的对称点C (- ,0),故只要求PM+M C C 最短,易得P C =6,故PM+M C +CM没有最大值,PM+CM≥6.
   综上所述,当点P的坐标是( ,0)时,PM+CM≥2 ;当点P的坐标是(2 ,-3)时,PM+CM≥6.
   点评:本例不仅将传统的证明题改为以探究的形式进行考查,重点由论证转向发现、猜测和探究,体现了新课改的理念;而且要求利用轴对称和两点之间线段最短解决有关问题;此外,题目中还要运到分类讨论的思想,,“动”是可变的条件,“静”是不变的条件,动静结合,以静制动,动中求静是解决运动问题的关键.
  
5、(09年新疆乌鲁木齐市)如图,在矩形中,已知、两点的坐标分别为,(不与点重合).
(1)试证明:无论点运动到何处,总造桥与相等;
(2)当点运动到与点的距离最小时,试确定过三点的抛物线的解析式;
(3)设点是(2)中所确定抛物线的顶点,当点运动到何处时,的周长最小?求出此时点的坐标和的周长