2011年高考天津市数学试卷-理科(含详细答案).doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试
天津卷(理科)
第Ⅰ卷
本卷共8小题,每小题5分,共40分
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
,复数( ).
A. B. C. D.
【解】.故选B.
,则“且”是“”的( ).


【解】因为且,则且,因而,所以“且”是“”的充分条件,
取,则满足, 但不满足且,所以“且”不是“”的必要条件.
因此“且”是“”.
,运行相应的程序,则输出的值为( ).
A.
B.
C.
D.
【解】运算过程依次为:
当时,,
当时,,
当时,,
当时,. .
,其公差为,且是与的等比中项,为的前项和,,则的值为( ).
A. B. C. D.
【解】因为等差数列的公差为,则,,,
因为是与的等比中项,所以,
即,
,所以,.
.
,的系数为( ).
A. B. C. D.
【解】,
令,则..
所以,的系数,故选C.
,在中,是边上的点,且,,,则的值为( ).
A. B.
C. D.
【解】,因为,所以,因为,.
所以,
于是.
在中,由正弦定理得,
即,.
,由题设,.
在中,由余弦定理得,
所以.
在中,由正弦定理得,即,
.
7.,,,则( ).
A. B. C. D.
【解】解法1.,
下面比较,和的大小.
因为,,,则最小.
,
因为,,所以,
,因而.
由于函数是上的增函数,.
解法2.,
下面比较,和的大小.
因为,,,则最小.
因为,
所以,因而.
由于函数是上的增函数,.
,,
画出函数和的图象,比较的纵坐标,可得,
.
由于函数是上的增函数,.
,定义运算“”:设函数,.若函数的图象与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
【解】由题设
画出函数的图象,函数图象的四个端点(如图)为,,,,
从图象中可以看出,直线穿过点,点之间时,直线
与图象有且只有两个公共点,同时,直线穿过点及其下方时,直线与图象有且只有两个公共点,.
第Ⅱ卷
二、填空题:本答题共6小题,每小题5分,共30分.
,,则抽取男运动员的人数为.
【解】.
抽取男运动员的人数为(人).
(单位:),则该几何体的体积为.
【解】.

.
(为参数).若斜率为的直线经过抛物线的焦点,且与圆相切,则.
【解】.
抛物线的普通方程为,其焦点为.
直线方程为.
因为直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,即
.
,已知圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点,且,,若与圆相切,则线段的长为.
【解】.
因为,所以设,,.
由相交弦定理,,
所以,,.
因为与圆相切,由切割线定理,.所以.
,,则集合.
【解】.
解集合.
当时,不等式化为,;
当时,不等式化为,;
当时,不等式化为,解得,所以解为.
综合以上,.
解集合.
因为,所以,
所以,因而.
,,,,,是腰上的动点,则的最小值为.
【解】.
解法1 .以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图的直角坐标系.
由题设,,设,,则.
,.
.
,
当且仅当时,等号成立,于是,当时,有最小值.
解法2 . 以相互垂直的向量,为基底表示,得
.
又是腰上的动点,即与共线,于是可设,
有.
所以
即.
由于是腰上的动点,显然当,即时,
所以有最小值.
解法3 .如图,,设为的中点,为的中点,则,
, ①
因为,.
则
. ②
(实际上,就是定理:“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”)
设为的中点,则为梯形的中位线,.
设为的中点,且设,
则,,,
代入式②得
,
于是,于是,当且仅当时,等号成立.
由式①,,
所