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高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
向量及其线性运算
向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;
线性运算:加减法、数乘;
空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;
利用坐标做向量的运算:设,,
则, ;
向量的模、方向角、投影:
向量的模:;
两点间的距离公式:
方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角
方向余弦:
投影:,其中为向量与的夹角。
数量积,向量积
数量积:
1)
2)
向量积:
大小:,方向:符合右手规则
1)
2)
运算律:反交换律
曲面及其方程
曲面方程的概念:
旋转曲面:
面上曲线,
绕轴旋转一周:
绕轴旋转一周:
柱面:
表示母线平行于轴,准线为的柱面
二次曲面
椭圆锥面:
椭球面:
旋转椭球面:
单叶双曲面:
双叶双曲面:
椭圆抛物面:
双曲抛物面(马鞍面):
椭圆柱面:
双曲柱面:
抛物柱面:
空间曲线及其方程
一般方程:
参数方程:,如螺旋线:
空间曲线在坐标面上的投影
,消去,得到曲线在面上的投影
平面及其方程
点法式方程:
法向量:,过点
一般式方程:
截距式方程:
两平面的夹角:,,


点到平面的距离:
空间直线及其方程
一般式方程:
对称式(点向式)方程:
方向向量:,过点
参数式方程:
两直线的夹角:,,


直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,


第九章多元函数微分法及其应用
基本概念
距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。
多元函数:,图形:
极限:
连续:
偏导数:
方向导数:
其中为的方向角。
梯度:,则。
全微分:设,则
性质
函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
偏导数存在
函数可微
函数连续
偏导数连续
充分条件
必要条件
定义
1
2
2
3
4
闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)
微分法
定义:
复合函数求导:链式法则
若,则
,
隐函数求导:两边求偏导,然后解方程(组)
应用
极值
无条件极值:求函数的极值
解方程组求出所有驻点,对于每一个驻点,令
,,,
若,,函数有极小值,
若,,函数有极大值;
若,函数没有极值;
若,不定。
条件极值:求函数在条件下的极值
令: ——— Lagrange函数
解方程组
几何应用
曲线的切线与法平面
曲线,则上一点(对应参数为)处的
切线方程为:
法平面方程为:
曲面的切平面与法线
曲面,则上一点处的切平面方程为:
法线方程为:
第十章重积分
二重积分
定义:
性质:(6条)
几何意义:曲顶柱体的体积。
计算:
直角坐标
,
,
极坐标

第十二章无穷级数
常数项级数
定义:
1)无穷级数:
部分和:,
正项级数:,
交错级数:,
2)级数收敛:若存在,则称级数收敛,否则称级数发散
3)条件收敛:收敛,而发散;
绝对收敛:收敛。
性质:
改变有限项不影响级数的收敛性;
级数,收敛,则收敛;
级数收敛,则任意加括号后仍然收敛;
必要条件:级数收敛.(注意:不是充分条件!)
审敛法
正项级数:,
定义:存在;
收敛有界;
比较审敛法:,为正项级数,且
若收敛,则收敛;若发散,则发散.
比较法的推论:,为正项级数,若存在正整数,当时,,而收敛,则收敛;若存在正整数,当时,,而发散,则发散.
比较法的极限形式:,为正项级数,若,而收敛,则收敛;若或,而发散,则发散.
比值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,级数