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蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗(Monte-Carlo)模拟,又称蒙特卡
罗方法、统计试验法等.
M-C模拟是静态模拟,描述特定时间点上
的系统行为.
模拟过程中不出现时间参数。
基本思想:把随机事件
(变量)的概率特征与
数学分析的解联系起来.
概率特征:随机事件的概率和随机变量的
数学期望等.
用试验方法确定
一. 蒙特卡罗法计算定积分
用M-C 模拟求圆周率π的估计值.
1
1
0
设二维随机变量
(X, Y)在正方形内
服从均匀分布.
(X, Y)落在圆内的概率为:
计算机上做n 次掷点试验:
产生n 对二维随机点(xi,yi) ,i=1 ,2, …, n .
xi 和yi 是RND 随机数对.
检查每对随机数是否满足:
相当于第i个随机点落在1/4圆内.
若有k 个点落在l/4圆内
随机事件“点落入1/4圆内”的
频率为 k/n
根据概率论中的大数定律, 事件发生的频率
依概率收敛于事件发生的概率p,即有
得圆周率π的估计值为
且当试验次数足够大时, 其精度也随之提高.
分析:实际上概率值为
恰为1/4圆的面积
频率法:
利用随机变量落进指定区域内的频率来计算定积分.
平均值法:
利用随机变量的平均值(数学期望)
来计算定积分.
平均值法的算法如下:
产生RND 随机数:r1,r2,…,rn;
(2)令 ui=a+(b-a)ri,i=1,2,…,n;
(3)计算作为I 的估计值.
原理分析:
设随机变量ζ1,ζ2,…,ζn相互独立,
且ζi~U(0,1)
{f(ξi)},i=1,2,…,n 相互独立同分布
由(强)大数定律知
以概率为1 成立
当n 足够大时,得近似公式:
注:
平均值法本质上是用样本平均值作为
总体教学期望的估计。
二. 蒙特卡罗模拟试验次数的确定
M-C 模拟是一种试验近似方法, 试验次数如何确定?
?
希望:模拟次数较少、
模拟精度较高
频率法的讨论
用事件A出现的频率作为概率p 的估计:
问题:试验次数 n 多大时,对给定的置信度
1-α(0<α<1),估计精度达到ε.
即问:取多大的n 使
成立?