电动力学-第二章.ppt

北京大学信息科学技术学院
区域光纤通信网与新型光通信系统国家重点实验室
李正斌
理科楼2424# Tel:62754815 Email:******@pku.
2010年9~10月
动
电
力
学
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问题:在给定自由电荷分布以及周围空间的介质状况、导体分布状况的前提下,如何用麦克斯韦方程组或前述的电磁理论来描述静电场
概念:
标势(电势)、势的叠加原理
泊松方程和边值关系
静电场的能量
唯一性定理
拉普拉斯方程
静电问题的格林函数方法
镜像法
分离变量法
*电多极矩
第二章静电场
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dl
P1
P2
C1
C2
E
首先在静电情况下,电场不随时间变化,也无电流分布产生,由麦克斯韦方程组可知,电场仅是静电荷产生的场。此时,描述电磁场的方程组仅为
这三个关系式是解决静电问题的基础
静电场的无旋性
电荷从P1点移到P2点,电场对它做的功与路径无关,仅与两端点有关。功的大小为
称为两点之间的电势差
静电场的标势——电势
电势的定义、叠加性、电势参考点
电场对电荷作正功,电荷的电势下降
电势差有物理意义
写成微分的形式
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电场强度E是电势的负梯度
注:由于静电场是无旋场,也叫保守场,同时梯度的旋度恒等于零,因此实际上可以直接将电场用标量场的梯度来表示。
电势参考点,其上的电势为零,从而整个空间的电势被单值地确定或描述。参考点的选择是任意的,对有限区域内电荷分布的场,常选取无限远为参考点。在直流电路、数字电路实验中,常取大地(接地)为参考点
再改写成全微分的形式
可以令
用电场强度和静电势来描述静电场是等效的。静电势是标量函数,对求解静电场问题更加方便。
标势表达式:真空中r’处的电荷Q。在空间r处激发的电场强度为
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点电荷的电势
由电场的叠加性,可以推出电势也具有叠加性。注意:电场的叠加是矢量叠加,而电势的叠加是标量叠加。这正是引入电势概念最大的好处。
点电荷系、电荷连续分布的电势表示式
即用标势表示的库仑定律的普遍表达式,与矢量的表示形式包含的物理意义是等价的,但是更加简便。
静电学的核心问题:给定电荷空间分布,由库仑定律确定空间任意一点的电势。
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线性介质中静电场情况下,没有磁场,电磁场的总能量为
被积函数并不表示电荷体系的能量密度,因为能量分布在电场内,不仅仅在电荷分布的区域内,因此该式表达的应是静电场的总能量大小
静电场的能量
静电场的总能量、静电能的两种表示方法
当全空间为均匀介质时,由连续分布电荷分布产生的场的总能量为
静电场之所以能够用电荷分布来表示电场能量,在于电荷决定电场,同时场区内没有独立的运动,场的能量仅有电荷分布来决定。
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例题2、均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为,求电势
例题1、求均匀电场的电势,
注意参考电势的选取
场点P、距导线的距离为R,电荷元dz到场点的距离为
电荷沿无线长导线分布,不是有限区域。可以考虑场内任意两点的电势差
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选P0为电势参考点,即
该电势的梯度为
还可以用高斯定理得出结果
思考:
利用叠加原理求电偶极子在远处产生的电势和偶极子轴线上的电场
例题3、求半径为a 、带电量Q的导电球的静电场总能量,
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静电势的微分方程和边值关系
泊松方程、拉普拉斯方程;静电边值问题;静电场的能量密度
静电场用静电势——标量函数的梯度描述的仅是它的一部分规律或者特征,其另一部分规律则由高斯定理的微分形式来决定:
得到
泊松方程,静电势满足的偏微分方程;区域内无电荷,泊松方程变成拉普拉斯方程;解静电场问题变成求解静电势的偏微分方程问题
介质不均匀,化成分区均匀的小区域,静电势都满足泊松方程,在分界面上应满足边值关系。
得到用电势表示的边值关系
n由介质1指向介质2
特别注意:导体构成静电场的边界条件为
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静电边值问题
由泊松方程、边值关系、边界条件构成静电边值问题
称为第一类静电边值问题,Dirichlet边界条件,Dirichlet问题。
三类边值问题,方程和边值关系都相同,边界条件不同
第一类边界条件——给定边界上的电势值
第二类边界条件——给定边界上的电势的法向微商即电场值
又叫Neuman边界条件,Neuman问题
第三类—混合边界条件,即部分边界给定电势值,部分边界给定电势的法向微商。
边值关系反映界面上电荷对空间场的影响,边界条件反映求解(研究)区域外面的场对研究区域的影响(即通过界面传递)。
静电问题就归结为解三类边值问题,步骤为:边值问题、解偏微分方程