专题07 函数奇偶性的判断和证明.doc

第07讲:函数奇偶性的判断和证明
【考纲要求】
结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。
【基础知识】
1、函数的奇偶性的定义
3、判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法
首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求;最后比较和的关系,如果有=,则函数是偶函数,如果有=-,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数。
(2)求和判别法
对于函数定义域内的任意一个x,若,则是奇函数;若,则是偶函数。
(3)作差判别法
对于函数定义域内任意一个x,若,则是奇函数;若
,则是偶函数。
(4)作商判别法
对于函数定义域内任意一个x,设,若,则是奇函数
,则是偶函数。
例1 判断下列函数的奇偶性
(1) (2)
解:(1)
(2)
例2 定义在实数集上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0
①求证:f(0)=1 ②求证:y=f(x)是偶函数
证明:①令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
②令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数
例3 判断函数的奇偶性
解:由题得函数的定义域关于原点对称。
设则,
设则,
所以函数是奇函数。
【点评】对于分段函数奇偶性的判断,也是要先看函数的定义域,再考虑定义,由于它是分段函数,所以要分类讨论。
【变式演练1】判断函数的奇偶性。
【变式演练2】已知函数是奇函数,是偶函数,判断函数的奇偶性。
方法二
求和判别法
使用情景[来源:学&科&网]
一般是对数函数。
解答步骤
对于函数定义域内的任意一个x,若,则是奇函数;若,则是偶函数。
例4 判断函数的奇偶性。
解法1:利用定义判断,由
,可知是奇函数。
解法2:由x∈R,知。因为
,所以是奇函数。
例5 判断函数的奇偶性。
解:由题得,因为
,所以是偶函数。
【点评】作差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式,但是利用定义判断,计算较为复杂,利用作差判别法可以化繁为简,简洁高效。
方法四
作商判别法
使用情景
一般含有指数函数运算。
解答步骤[来源:学|科|网Z|X|X|K]
对于函数定义域内任意一个x,设,若,则是奇函数;若,则是偶函数。[来源:]
例6 证明函数是奇函数。
证明:由,知且,所以定义域关于原点对称。
因为,所以是奇函数。
1.【2012高考真题陕西理2】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数;B是奇函数且是减函数;C是奇函数且在,上是减函数;.
2..【2012高考真题辽宁理11】设函数f(x)满足f()=f(x),f(x)=f(2x),且当时,f(x)=(x)=|xcos|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
3.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数,且,若,则。
【解析】因为为奇函数,所以,所以