直线与圆(2012年高三数学一轮复习精品次资料).doc

2012年高三数学一轮复面解析几何
第二节直线与圆
【高考目标定位】
一、圆的方程
(一)考纲点击
1、掌握确定圆的几何要素;
2、掌握确定圆的标准方程与一般方程。
(二)热点提示
1、能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方程;
2、直线和圆的位置关系是考查的热点;
3、本部分在高考试题中多以选择、填空的形式出现,属中低档题目。
二、直线、圆的位置关系
(一)考纲点击
1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;
3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
(二)热点提示
1、直线与圆,圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,主要考查:
(1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断;
(2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围;
(3)利用相切或相交求圆的切线或弦长。
2、本部分在高考试题中多为选择、填空题,有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。
【考纲知识梳理】
一、圆的方程

(1)在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
(2)确定一个圆的要素是圆心和半径。

圆的标准方程
圆的一般方程
方程
圆心坐标
(a,b)
半径
r
注:方程表示圆的充要条件是

已知圆的方程为,点。则:
(1)点在圆上:;
(2)点在圆外:;
(3)点在圆内:。

确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为:
(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;
(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组;
(3)解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。
注:用待定系数法求圆的方程时,如何根据已知条件选择圆的方程?(当条件中给出的是圆上几点坐标,较适合用一般方程,通过解三元方程组求相应系数;当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件,适合用标准方程。对于有些题,设哪种形式都可以,这就要求根据条件具体问题具体分析。)
二、直线、圆的位置关系

位置关系
相离
相切
相交
公共点个数
0个
1个
2个
几何特征(圆心到直线的距离,半径)
代数特征(直线与圆的方程组成的方程组)
无实数解
有两组相同实数解
有两组不同实数解
注:在求过一定点的圆的切线方程时,应首先判断这点与圆的位置关系,若点在圆台上,则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,切线应有两条,谨防漏解。

位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
几何特征(圆心距,两圆半径,,)
代数特征(两个圆的方程组成的方程组)
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
【热点难点精析】
一、圆的方程
(一)圆的方程的求法
※相关链接※
。如果选择标准方程,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r.
,则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数,因此,必须具备三个独立的条件,才能确定圆的一般方程,其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为:由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组,解方程组确定D、E、F的值。

注:在求圆的方程时,常用到圆的以下必修性质:
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(2)圆心在任一弦的中垂直上;
(3)两圆心或外切时,切点与两圆圆心三点共线。
※例题解析※
〖例〗求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程。
思路解析:由条件可设圆的标准方程求解,也可设圆的一般方程,但计算较繁琐。
解答:(方法一) 设所求的圆的方程是,
则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为,
∴
即………………………………………………①
由于所求的圆与x轴相切,∴………………………………②
又因为所求圆心在直线3x-y=0上,
∴3a-b=0………………………………………………………………③
联立①②③,解得a=1,b=3,=9或a=-1,b=-3, =9.
故所求的圆的方程是:
(方法二)设所求的圆的方程是=0,圆心为,半径为令y=0,得=0,由圆与x轴相切,得⊿=0,即……④
又圆心到直线x-y=0的距离为
由已知,得
即…………………………………………⑤