蒙特卡罗算法与matlab(精品教程).doc

第一章:Monte Carlo方法概述
讲课人:Xaero Chang | 课程主页: /notes/intro2mc
本章主要概述Monte Carlo的一些基础知识,另外包括一个最简单的用Monte Carlo方法计算数值积分的例子。
一、Monte Carlo历史渊源
Monte Carlo方法的实质是通过大量随机试验,利用概率论解决问题的一种数值方法,基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和Simulation有细微区别。单独的Simulation只是模拟一些随机的运动,其结果是不确定的;Monte Carlo在计算的中间过程中出现的数是随机的,但是它要解决的问题的结果却是确定的。
历史上有记载的Monte Carlo试验始于十八世纪末期(约1777年),当时布丰(Buffon)为了计算圆周率,设计了一个“投针试验”。(后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子)。虽然方法已经存在了200多年,此方法命名为Monte Carlo则是在二十世纪四十年,美国***计划的一个子项目需要使用Monte Carlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。出于保密缘故,每个项目都要一个代号,传闻命名代号时,项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称,自此这种方法也就被命名为Monte Carlo方法广为流传。
十一、Monte Carlo方法适用用途
(一)数值积分
计算一个定积分,如,如果我们能够得到f(x)的原函数F(x),那么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是,很多情况下,由于f(x)太复杂,我们无法计算得到原函数F(x)的显示解,这时我们就只能用数值积分的办法。如下是一个简单的数值积分的例子。
数值积分简单示例
如图,数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点,用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。
常规的数值积分方法是在分段之后,将所有的柱子(粉红色方块)的面积全部加起来,用这个面积来近似函数f(x)(蓝色曲线)与x轴围成的面积。这样做当然是不精确的,但是随着分段数量增加,误差将减小,近似面积将逐渐逼近真实的面积。
Monte Carlo数值积分方法和上述类似。差别在于,Monte Carlo方法中,我们不需要将所有方柱的面积相加,而只需要随机地抽取一些函数值,将他们的面积累加后计算平均值就够了。通过相关数学知识可以证明,随着抽取点增加,近似面积也将逼近真实面积。
在金融产品定价中,我们接触到的大多数求基于某个随机变量的函数的期望值。考虑一个欧式期权,假定我们已经知道在期权行权日的股票服从某种分布(理论模型中一般是正态分布),那么用期权收益在这种分布上做积分求期望即可。
(五)随机最优化
Monte Carlo在随机最优化中的应用包括:模拟退火(Simulated Annealing)、进化策略(Evolution strategy)等等。一个最简单的例子是,已知某函数,我们要求此函数的最大值,那么我们可以不断地在该函数定义域上随机取点,然后用得到的最大的点作为此函数的最大值。这个例子实质也是随机数值积分,它等价于求此函数的无穷阶范数(-Norm)在定义域上的积分。
由于在金融产品定价中,这部分内容用的相对较不常见,所以此课程就不介绍随机最优化方法了。
十二、Monte Carlo形式与一般步骤
(一)积分形式
做Monte Carlo时,求解积分的一般形式是:
X为自变量,它应该是随机的,定义域为(x0, x1),f(x)为被积函数,ψ(x)是x的概率密度。在计算欧式期权例子中,x为期权到期日股票价格,由于我们计算期权价格的时候该期权还没有到期,所以此时x是不确定的(是一随机变量),我们按照相应的理论,假设x的概率密度为ψ(x)、最高可能股价为x1(可以是正无穷)、最低可能股价为x0(可以是0),另外,期权收益是到期日股票价格x和期权行权价格的函数,我们用f(x)来表示期权收益。
(二)一般步骤
我将Monte Carlo分为三加一个步骤:
(x)不断生成随机数x, 并计算f(x)
由于随机数性质,每次生成的x的值都是不确定的,为区分起见,我们可以给生成的x赋予下标。如xi表示生成的第i个x。生成了多少个x,就可以计算出多少个f(x)的值
(x)的值累加,并求平均值
例如我们共生成了N个x,这个步骤用数学式子表达就是

常用的停止条件有两种,一种是设定最多生成N个x,数量达到后即退出,另一种是检测计算结果与真实结果之间的误差,当这一误差小到某个范围之内时退出。
有趣的类比:积分表达式中的积分符合类比为上式中累加符号,dx类比为1/