线性代数期末试题(同济大学第五版)(附答案).doc

线性代数试题(附答案)
一、填空题(每题2分,共20分)
= 。
,且,则的值为。
×4阶矩阵A的行列式是A的伴随矩阵则= 。
,且,则。
5. 和是的两组基,且,若由基到基的基变换公式为()=()A,则A=
。
。
。
。
,则的取值范围是。
二、单项选择(每小题2分,共12分)
。
A、1 B、2 C、3 D、4
2. 齐次线性方程组的基础解系中含有解向量的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
( )
A、-1 B、-2 C、0 D、1
4. A、B( )
A、B=E B、A=E C、A=B D、AB=BA
( )
A、1或2 B、-1或-2 C、1或-2 D、-1或2
( )
A、 B、
C、 D
三、计算题(每小题9分,共63分)

?在方程组有解时,用其导出组的基础解系表示方程组的通解。
。当为何值时,向量组线性相关?当线性组线性相关时,求出极大线性无关组,并将其们向量用极大线性无关组线性表示。
,。
,且|A|<0。
(1)求行列式|A|的值;(2)求行列式|A+E|的值。

(1)求正交矩阵Q,使Q-1AQ为对角矩阵;(2)求A10。
,并写出相应的可逆线性变换。
四、证明题(5分)
A、B均为n阶矩阵,且A、B、A+B均可逆,证明:
(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A

试题二
一、填充题(每小题2分,共20分)
1. 。
2. = (n为正整数)。
=,则= 。
。
。
、B、C有ABC=E,E为。
,则。
、B为同阶方阵,则的充分必要充分条件是。
,则其特征值。

值范围是。
二、单项选择(每小题2分,共10分)
( )
A、12 B、-12 C、18 D、0
、B都是( )
A、A=0或B=0 B、A、B都不可逆
C、A、B中至少有一个不可逆 D、A+B=O
3. 向量组( )
A、
B、中有两个向量的对应分量成比例
C、中每一个向量都可用其余个向量线性表示
D、中至少有一个向量可由其余个向量线性表示
( )
A、 B、
C、 D、
( )
A、它们的特征矩阵相似 B、它们具有相同的特征向量
C、它们具有相同的特征矩阵 D、存在可逆矩阵
三、计算题(每小题9分,共63分)

2. 当、为何值时有解,在有解的情况下,求其全部解(用其导出组的基础解系线性表示)。
,并将其余向量用此极大线性无关组线性表示。


(1)求
,将其化为正准交基,并求向量。
,写出相对应的非奇异线性变换。并指出二次型的秩、正惯性指数及符号差。
四、证明题(7分)
`如果A是
一、填空题(每小题2分,共20分)
2.-2 4. 5. 6.-9
, , 10.
二、单项选择(每小题2分,共12分)

三、计算题(每小题9分,共63分)
,第3列的倍统统加到第1 列上去,得



所以,当方程组有解,特解其导出的基础解系为原方程组的全部解为为任意常数。

当时,向量组线性相关。向量组的极大线性无关组是且
=2X+B得,(A-2E)X=B
所以有X=B=
=
,,所以
所以,
6. ,所以A的4特征值为。对应与特征于
的特征向量,标准正交化;对应于特征值的特征向量,,标准正交化,,。
由此可得正交矩阵,
使得。

令所作的可逆线性变换为
可将原二次型化为标准型
四、证明题(5分)
证明:


或

试题二
一、填空题
1. 2. 3. 4.
5. =BA -1 10.
二、单项选择题
1. A 4. B 5. A
三、计算题
=
2.
当时线性方程组有解
全部解为为任意常数。