经济类高数竞赛试题及答案(2).doc

2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案
(经济管理类)
一、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)
,恒有,且知,则。
= 0处连续,则a = 。
,其中是由方程所确定的隐函数,则。
4. 。
5。设其中具有二阶导数,则。
二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)
当时,下列无穷小量
①; ②;
③; ④,
从低阶到高阶的排列顺序为( D )
(A) ①②③④; (B) ③①②④;
(C) ④③②①; (D) ④②①③。
设,在x = 0处存在最高阶导数的阶数为( B )
(A) 1阶; (B) 2阶; (C) 3阶; (D)4阶。
设函数在 x = 1处有连续的导函数,又,则x = 1是( B )
(A)函数的极大值点; (B)函数的极小值点;
(C)曲线拐点的横坐标; (D)以上答案均不正确。
设函数f,g在区间[a,b]上连续,且(m为常数),则曲线和x = b所围平面图形绕直线y = m旋转而成的旋转体体积为( A )
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) 。
设是关于u的奇函数,D是由所围成的平面区域,则( C )
(A)0; (B); (C); (D)。
三、a,b,c为何值时,下式成立
。
(本题6分)
解:注意到左边的极限中,无论a为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必须为无穷小量,于是可知必有b= 0,当b= 0时使用诺必达法则得到
,
由上式可知:当时,若,则此极限存在,且其值为0;若a = 1,则
。
综上所述,得到如下结论:
,b = 0,c = 0;
或a = 1,b = 0,c = -2。
四、设函数,其中具有连续二阶导函数,且。
⑴确定a的值,使在点x = 0处可导,并求。
⑵讨论在点x = 0处的连续性。(本题8分)
解:⑴欲使在点x = 0处可导,在点x = 0处必须连续,于是有
即当时,在点x = 0处连续。
当时,
;
当x = 0时,
故:
。
⑵因为
所以,在点x = 0处连续。
五、设正值函数在上连续,求函数的最小值点。(本题6分)
解:
注意到:在上,因此,当x > 1时,。
命:,得,解此方程得到唯一驻点 x = 2。
又,当时,;当x > 2时,,所以在点x = 2处取得极小值,又因为x = 2是唯一的极值点,所以x = 2是的最小值点,最小值为。
六、设,且,求。(本题6分)
解:
七、设变换,把方程化为,试确定a 。(本题7分)
解: 计算一、二阶偏导数

代入方程,得到
,
于是有,所以。
八、计算,其中,且均为常数。(本题7分)
解:积分区域D为与的公共部分。取极坐标计算,有
xtan
九、设函数f (x)具有二阶连续导函数,且。在曲线y = f (x)上任意取一点作曲线的切线,此切线在x轴上的截距记作,求。(本题8分)
解: 过