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考研数学预备知识7-求导公式.doc

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一、反函数的导数
法则5(反函数的求导法则)如果函数在区间内单调连续,且在该区间内处处有不等于0的导数,那么它的反函数在相应区间内也处处可导,即存在,并且

也可写为
或
这个等式还可以简单地说成反函数的导数等于原来函数的导数的倒数.
例1 求指数函数的导数.
解是的反函数,函数在区间内单调连续,且,因此根据反函数的求导法则,可得而,
所以
即
特别地,当时,有
这表明,以为底的指数函数的导数就是它本身,这是以为底的指数函数的一个重要特性.
例2 求函数+的导数.
解

例3 推导幂函数(其中为任意实数)的求导公式.
解利用对数的性质,我们将函数写成指数形式
则由复合函数的求导法则,有
例4 求函数的导数
解当时,的反函数是
而

所以
即
同样可证:

例5 求函数的导数
解
例6 求函数的导数
解
=
二、基本初等函数求导公式表
下面我们分别列表给出基本初等函数的求导公式和函数的求导法则
表2-1 基本初等函数的求导公式
(1)
(C为常数)
(9)
(2)
(10)
(3)
(11)
(4)
(12)
(5)
(13)
(6)
(14)
(7)
(15)
(8)
(16)
表2-2 求导法则
(1)

(5)
设,则复合函数的求导法则为
(2)
(3)
(4)
(6)
单调连续函数具有反函数,则

例7 求下列函数的导数:
(1); (2) ;
(3) ; (4) .
解(1)

(2)
(3)

(4)

例8 一物体的运动方程为(其中a和b为常数),求物体在时的速度.
解因为
所以

当时,得

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