考研模拟试题（3）.doc

2003高等数学竞赛试题及参考解筨
一、选择题(40分)
1. 设,且,则( C )
(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零;
(C) 不一定存在; (D) 一定不存在.
2. 设是连续函数,的原函数,则( A )
(A) 当为奇函数时,必为偶函数;
(B) 当为偶函数时,必为奇函数;
(C) 当为周期函数时,必为周期函数;
(D) 当为单调增函数时,必为单调增函数.
3. 设,在内恒有,记,则有( B )
(A) ; (B) ; (C) ; (D) 不确定.
4. 设有连续导数,且,,当时,是同阶无穷小,则( B )
(A) 4; (B) 3; (C) 2; (D) 1.
5. 设,则在点( D )
(A) 不连续; (B) 连续但偏导数不存在;
(C) 可微; (D) 连续且偏导数存在但不可微.
6. 设,则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为( A )
(A) ; (B) 3, 11; (C) ; (D) .
7. 设是包含原点在内的两条同向闭曲线,的内部,若已知(k为常数),则有( D )
(A) 等于k; (B) 等于; (C) 大于k; (D) 不一定等于k,与L2的形状有关.
8. 设在处收敛,则在处( D )
(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与an有关.
9. 设A为矩阵,B为矩阵,若,则齐次线性方程组( C )
(A) 无解; (B) 只有零解; (C) 有非零解; (D) 可能有解,也可能无解.
10. 设是空间个相异的点,记,则共面的充分必要条件是( D )
(A) 秩(A)=1; (B) 秩(A)=2; (C) 秩(A)=3; (D) 秩(A)=2或秩(A)=3.
二、(8分)设,试确定、的值,使都存在.
解:当时,,故;
当时,
,。
三、(8分)设的一个原函数,且,求.
解:,,
,由知,,
四、(10分)设,S为的边界曲面外侧,计算
解:(下侧),(上侧),,

五、(10分)已知向量组线性无关,向量都可用表出,即
求证:线性相关的充分必要条件是矩阵的秩.
解:()设线性相关,则不全为0的使,即,
线性无关,,即
是齐次线性方程组的非零解,故。
()设,则有非零解,即不全为0的使成
立,从而,故线性相关。
六、(10分)设n阶实对称矩阵的秩为r,且满足(称A为幂等矩阵),求:
(1)二次型的标准形;
(2)行列式的值,其中E为单位矩阵.
解:A为实对称阵,正交阵P,使,,为A的特征值。
(1)设是A的任一特征值,为对应特征向量,则,,,或,即实对称幂等矩阵的特征值只取0或1。
由,知中有r个1,个0,适当排列P中列向量,可使,其中为r阶单位矩阵,故二次型的标准形为。
(2)由得,故
七、(10分)