博弈论习题及解答.doc

※第一章    绪论
§
1. 什么是博弈论?博弈有哪些基本表示方法?各种表示法的基本要素是什么?(见教材)
2. 分别用规范式和扩展式表示下面的博弈。
两个相互竞争的企业考虑同时推出一种相似的产品。如果两家企业都推出这种产品,那么他们每家将获得利润400万元;如果只有一家企业推出新产品,那么它将获得利润700万元,没有推出新产品的企业亏损600万元;如果两家企业都不推出该产品,则每家企业获得200万元的利润。
 
企业B
推出
不推出
企业A
推出
(400,400)
(700,-600)
不推出
(-600,700)
(-500,-500)
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 什么是特征函数? (见教材)
4. 产生“囚犯困境”的原因是什么?你能否举出现实经济活动中囚徒困境的例子?
原因:个体理性与集体理性的矛盾。
例子:厂商之间的价格战,广告竞争等。
 
 
※第二章    完全信息的静态博弈和纳什均衡
1. 什么是纳什均衡? (见教材)
2. 剔除以下规范式博弈中的严格劣策略,再求出纯策略纳什均衡。
先剔除甲的严格劣策略3,再剔除乙的严格劣策略2,得如下矩阵博弈。然后用划线法求出该矩阵博弈的纯策略Nash均衡。
乙
甲
1
3
1
2,0
4,2
2
3,4
2,3
3. 求出下面博弈的纳什均衡。
 
 
乙
 
 
L
R
甲
U
5,0
0,8
D
2,6
4,5
由划线法易知,该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。
由表达式()~()可得如下不等式组
Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1
将这些数据代入()和(),可得混合策略Nash均衡((),())
4. 用图解法求矩阵博弈的解。
解:设局中人1采用混合策略(x,1-x),其中x∈[0,1],于是有:,其中
F(x)=min{x+3(1-x),-x+5(1-x),3x-3(1-x)}
令z=x+3(1-x),z=-x+5(1-x),z=3x-3(1-x)
作出三条直线,如下图,图中粗的折线,就是F(x)的图象
由图可知,纳什均衡点与β1无关,所以原问题化为新的2*2矩阵博弈:
由公式计算得:。
所以该博弈的纳什均衡点为((2/3,1/3),(0,1/2,1/2)),博弈的值为1。
5. 用线性规划法求矩阵博弈的解。
将矩阵中的所有元素都加4,得
将数据代入()和()可得局中人1的混合策略,(,,), 将数据代入()和()可得局中人2的混合策略,((,,))
6. 某产品市场上有两个厂商,各自都可以选择高质量,还是低质量。相应的利润由如下得益矩阵给出:
(1) 该博弈是否存在纳什均衡?如果存在的话,哪些结果是纳什均衡?
由划线法可知,该矩阵博弈有两个纯策略Nash均衡,即(低质量, 高质量), (高质量,低质量)。
 
 
乙企业
 
 
高质量
低质量
甲企业
高质量
50,50
100,800
低质量
900,600
-20,-30
该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡
Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630,可得??
因此该问题的混合纳什均衡为。
(2) 如果各企业的经营者都是保守的,井都采用最大最小化策略,结果如何?
 
 
乙企业
 
 
高质量
低质量
甲企业
高质量
50,50
100,800
低质量
900,600
-20,-30
?(高质量, 高质量),(低质量,低质量)。
7. 甲、乙两人就如何分100元钱进行讨价还价。假设确定了以下规则:双方同时提出自己要求的数额s1和s2,0≤s1,s2≤100。如果s1+s2≤100,则两人各自得到自己所提出的数额;如果s1+s2>100,双方均获得0元。试求出该博弈的纳什均衡。
该博弈的纳什均衡为下图的线段AB:即:s1+s2=100,s1,s2∈[0,100]。
8. 假设古诺寡头垄断模型中有n个企业,令qi表示企业i的产量,且 Q=q1+…+qn表示市场总产量,p表示市场出清价格,并假设逆需求函数由p(Q)=a-Q给出(设Q<a,其它情况下p=0)。并设企业i生产产量qi的总成本 Ci(qi)=cqi,这里c是常数,并假设c<a。企业同时就产量进行决策。求出该博弈的纳什均衡。当n趋于无穷大时,会发生什么情况?
解:厂商i的利润为: