热力学统计物理 第四版 汪志诚 答案.doc

第一章热力学的基本规律
试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。
解:已知理想气体的物态方程为
(1)
由此易得
(2)
(3)
(4)
满足的过程称为多方过程,其中常数名为多方指数。试证明:理想气体在多方过程中的热容量为
解:根据式(),多方过程中的热容量
(1)
对于理想气体,内能U只是温度T的函数,
所以
(2)
将多方过程的过程方程式与理想气体的物态方程联立,消去压强可得
(常量)。(3)
将上式微分,有
所以
(4)
代入式(2),即得
(5)
其中用了式()和()。
试证明:理想气体在某一过程中的热容量如果是常数,该过程一定是多方过程,多方指数。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解:根据热力学第一定律,有
(1)
对于准静态过程有
对理想气体有
气体在过程中吸收的热量为
因此式(1)可表为
(2)
用理想气体的物态方程除上式,并注意可得
(3)
将理想气体的物态方程全式求微分,有
(4)
式(3)与式(4)联立,消去,有
(5)
令,可将式(5)表为
(6)
如果和都是常量,将上式积分即得
(常量)。(7)
式(7)表明,过程是多方过程。
假设理想气体的是温度的函数,试求在准静态绝热过程中的关系,该关系式中要用到一个函数,其表达式为
解:根据式(),理想气体在准静态绝热过程中满足
(1)
用物态方程除上式,第一项用除,第二项用除,可得
(2)
利用式()和(),
可将式(2)改定为
(3)
将上式积分,如果是温度的函数,定义
(4)
可得
(常量), (5)
或
(常量)。(6)
式(6)给出当是温度的函数时,理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。
。
解:假设在图中两条绝热线交于点,如图所示。设想一等温线与
两条绝热线分别交于点和点(因为等温线的斜率小于绝热线的斜率,这样的等温线总是存在的),则在循环过程中,系统在等温过程中从外界吸取热量,而在循环过程中对外做功,其数值等于三条线所围面积(正值)。循环过程完成后,系统回到原来的状态。根据热力学第一定律,有
。
这样一来,系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了,
这违背了热力学第二定律的开尔文说法,是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。
第二章均匀物质的热力学性质
:
试证明其内能与体积无关.
解:根据题设,物质的物态方程具有以下形式:
(1)
故有
(2)
但根据式(),有
(3)
所以
(4)
这就是说,如果物质具有形式为(1)的物态方程,则物质的内能与体积无关,只是温度T的函数.
求证:
解:焓的全微分为
(1)
令,得
(2)
内能的全微分为
(3)
令,得
(4)
,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.
解:气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数和描述. 熵函数的全微分为
在可逆绝热过程中,故有
(1)
最后一步用了麦氏关系式()和式().
焓的全微分为

在节流过程中,故有
(2)
最后一步用了式()和式().
将式(1)和式(2)相减,得
(3)
所以在相同的压强降落下,气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.
由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分,低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题,实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温,气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查(1934年)将绝热膨胀和节流过程结合起来,先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下,再用节流过程将氦液化.
证明范氏气体的定容热容量只是温度T的函数,与比体积无关.
解:(2)
(1)
范氏方程(式())可以表为
(2)
由于在V不变时范氏方程的p是T的线性函数,所以范氏气体的定容热容量只是T的函数,与比体积无关.
不仅如此,(3)
(3)
我们知道,时范氏气体趋于理想气体. 令上式的,式中的就是理想气体的热容量. 由此可知,范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的.
顺便提及,在压强不变时范氏方程的体积与温度不呈线性关系. (5)
(2)
这