函数的极值PPT课件.ppt

乐安一中邹森
函
数
的
极
值
利用函数的导数,讨论函数f(x) = 2x3- 6x2 +7 的单调性,并根据单调性画出函数图象草图。
略解: f΄(x) = 6x2 – 12x = 6x( x - 2)
令 6x( x –2 )﹥0,
解得 x﹥2 或 x﹤0,
∴当x∈(-∞,0)
或x∈(2,+∞)时,
f(x)是增函数;
令6x( x – 2 )﹤ 0,
解得 0﹤ x ﹤ 2 ,
∴当x∈(0,2)时,f(x)是减函数。
复****引入
7
-1
2
一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,
如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f(x0)
就说f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值= f(x0) ;
x0 为f(x)极大值点
如果对x0附近所有的点,都有f(x)﹥f(x0)
就说f(x0)是函数的一个极小值,记作y极小值= f(x0) 。
x0 为f(x)极小值点
极大值与极小值统称为极值。
1、极值的定义
新课讲授
极值
极小值
极大值
极值点
极小值点
极大值点
1、附近是指某一点附近的小区间而言,是一个局部概念
3、在整个定义域内,可以有多个极大值和极小值。极大值和极小值之间没有确定的大小关系;
f(x1)
o
a
X1
X2
X3
X4
b
a
x
y
f(x4)
2、极值是指函数值,而极值点是自变量的值;
4、函数极值点必出现在区间内部,而不在区间的端点
注意:
1、在函数取得极值处,如果曲线有切线,切线的斜率
相同吗?都是多少呢?
2、在函数极大(小)值点两侧,函数的单调性有什么
特点?
一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是
极大(小)值的方法是:
(1)如果在x0附近的左侧f΄(x) ﹥0 ,
右侧f΄(x) ﹤0 ,那么, f(x0)是极大值;
(2)如果在x0附近的左侧f΄(x) ﹤0 ,
右侧f΄(x) ﹥0 ,那么, f(x0)是极小值。
2、极值的判别方法
由上表得极大值为f(-3)=22, 极小值为f(3)=-14
(x)=(x2-1)3的极值
解:
x
f’(x)
f(x)
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,1)
+
+
0
0
-
极小值
-1
-
(1,+∞)
1
0
3、例题与练****br/>1、对于可导函数
2、导数为0是点是极值点的必要条件;
3、点两侧的导数异号是点是极值点的充分条件。
4、点是极值点的充分条件和必要条件
判断:
点x=0是函数y=x3的极值点。
思考:对于函数y=f(x),
如果f΄(x0)=0,x0点是否
一定是函数 y=f(x)的极值点呢?