北京大学2005数学专业研究生高等代数与解析几何.doc

在直角坐标系中,求直线到平面的正交投影轨迹的方程。
其中B是常数
解:
可以验证点,从而
把写成参数方程:,任取其上一点,设该点到上的投影为点
整理即知,到上的正交投影轨迹满足方程
由于,上述方程表示一条直线,而和不同时成立,因此到上的正交投影轨迹是一条直线
从而到上的正交投影轨迹的方程就是
在直角坐标系中对于参数的不同取值,判断下面平面二次曲线的形状:.
对于中心型曲线,写出对称中心的坐标;
对于线心型曲线,写出对称直线的方程。
解:
记,容易验证,因此直角坐标变换是一个正交变换
在这个变换下,曲线方程变为
时,,曲线为双曲线,是中心型曲线,对称点为
时,曲线方程为,是一对平行直线,是线心型曲线,对称直线为,即
时,,曲线为椭圆,是中心型曲线,对称点为
时,曲线方程为,是一个点,是中心型曲线,对称点为
时,,曲线为虚椭圆,是中心型曲线,对称点为
时,曲线方程为,是一对虚平行直线,是线心型曲线,对称直线为,即
时,,曲线为双曲线,是中心型曲线,对称点为
设数域上的级矩阵的元为
(1).求;
(2).当时,.求齐次线性方程组的解空间的维数和一个基。
解:
(1)
若,
若,
若,
(2)
若,则,方程组只有零解,其解空间维数为0
若,则由(1)知道的任意一个3级子式的行列式为0,而的一个2级子式的行列式为,从而
于是方程组解空间的维数是,取向量组,其中,,
可知,其中是阶单位矩阵,是一个的矩阵,从而
并且对任意的,有
因此都属于方程组解空间,从而是方程组解空间的一组基
4.(1)设数域上级矩阵,对任意正整数,求
[C是什么?]
(2)用表示数域上所有级矩阵组成的集合,它对于矩阵的加法和数量乘法成为上的线性空间。数域上级矩阵称为循环矩阵。用表示上所有级循环矩阵组成的集合。
证明:是的一个子空间,并求的一个基和维数。
证:
对任意的,以及,有
因此
对任意的,和,有
因此
可知是的一个子空间。
记,其中,,
对任意的,有,即所有向量都能用向量组线性表出
设一组数,满足,亦即
可得,向量组线性无关
综上向量组是的一组基
5.(1)设实数域上级矩阵的元为()。在实数域上维线性空间中,