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非线性方程组数值上机实验报告
. 用Newton 方法求解方程 x3-x2-8x-12=0的根,并绘制误差下降曲线。然后,试用割线法重复上述工作。
实验步骤:
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实验图像:
实验图像分析:
通过简单计算可知,方程 x3-x2-8x-12=0的三个根为:2(二重根)、-3。
,在重根处仅为一阶收敛。取初值为1时,收敛到二重根2,取初值为-2时,收敛到单根-,可以看出取初值为-2时,收敛到-3的速率远大于取初值为1时,收敛到2的速率。这与理论分析相符。
,此处是由Newton法迭代一步算出另一初值后再进行割线法。从上图亦可以看出:割线法同样对单根和重根的收敛速度有差别。
对单根的收敛速度较快,对重根的收敛速度较慢。
方法求解非线性方程组
x+3y2-7+18=0sinyex-1=0
取相同的初值(-,),比较两者的迭代次数;若初值为(0,1)呢?观察Broyden中的Bk是否收敛到Jacobi矩阵呢?若非线性方程组为
x+y-3=0x2+y2-9=0
呢?初值取为(2,4),观察 Broyden 中的Bk是否收敛到Jacobi矩阵呢?
实验数据:
(-,),设置相同的误差容限为10-12,两者的迭代次数分别为:5和7。迭代7次后Broyden算法中:
Bk=-
真解的Jacobi矩阵为 J(x*)=-6-611,故可以认为Bk收敛到J(x*)。
下图显示了两种方法的误差下降曲线。
(0,1)时,同样设置相同的误差容限为10-12,此处由于(0,1)即为其真解,牛顿法需迭代一次,而Broyden法需迭代两次,即可达到所需量级。此时
Bk=-6611,可认为其收敛到Jacobi矩阵。
,其有两组解x=0y=3和x=3y=0,取初值为2,4时,收敛到解(0,3),牛顿法需要迭代7次,Broyden法需要迭代9次。此时Broyden法中矩阵Bk=
而真解处对应的Jacobi矩阵为1106,注意到矩阵Bk的2,1和(2,2)位置元素与0和6相差较远,故可认为Bk并不收敛到Jacobi矩阵。所得误差下降曲线如下:
实验数据分析:
,Broyden 方法的收敛速度稍慢于Newton方法 。这与理论相符。
,Broyden方法中即使数值解收敛,Bk也不一定收敛。事实上,我们只需要拟牛顿方法中的修正方向和原始Newton迭代中的修正方向趋于一致,即可保证数值解趋于真解,无需Bk收敛于对应的Jacobi矩阵。
编制修正Newton法(与m的关系)、离散Newton法和两点序列割线法求解上述