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天津大学《概率论与数理统计》3-5PPT课件.ppt


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第五节两个随机变量函数的分布
如果( X ,Y ) 的联合分布是已知,对于给定的
一个二元函数 g ( ·,· ) ,如何去计算新的随机变量
Z = g (X,Y ) 的分布?
思考1
丈夫买了 3 张彩票,妻子独立买了 5 张彩票,则一共买的 8 张彩票里中奖张数的分布?
思考2
一般假定误差随机变量服从 N (0 , 2 ) ,讨论若干次测量的误差总和。
①当( X ,Y ) 是离散随机向量时,
首先确定 Z = g (X,Y ) 所有可能的取值 g ( xi ,yj ) ,
相应的概率是 pi j ;其次,把所有取相同值的
g ( xi ,yj ) 对应的概率相加。

例1 设(X,Y)的分布律为
X
Y
0 1 2
-1
2



(-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2)
-1 0 1 2 3 4
(X,Y)
Z=X+Y
Z=XY

0 -1 -2 0 2 4
Z=XY

-2 -1 0 2 4
求(1) Z=X+Y (2) Z=XY
(3) Z=max(X,Y) (4)Z=min(X,Y) 的分布律.
Z= max(X,Y)
0 1 2 2 2 2
例2 计算掷出的两个均匀骰子点数和的分布律。
解. 分析,
以 X、Y 分别表示这两个骰子掷出的点数,则
X、Y 相互独立,具有相同的分布:
P ( X = i ) = P ( Y = i ) = 1/6 , 当 1 ≤ i ≤ 6 ;
需要计算随机变量 Z = X + Y 的分布律。
Z 所有可能的取值是 2,3,· · · ,11,12 。并且,
X \ Y 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由于 X、Y 的联合分布律是
P { X = i ,Y = j } = 1/36 , 1 ≤ i ,j ≤ 6
因此 X + Y ,即这两个骰子点数和的分布律为
Z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pk ———————————
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

max{X ,Y }
P
0 1

例3 X, Y 相互独立, 都服从参数为 的
0-1分布. 求 M = max{X ,Y }的概率分布

Y
X
pij
1 0
1
0


例5
设 X 与Y 相互独立, 且
X ~ B (n, p),Y ~ B (m, p),

二项分布可加性的证明
附录
X + Y ~ B ( n + m , p)

Z = X + Y 的可能取值为
0,1,2, , n + m
(证明中用到)
k = 0,1,2, , n + m
所以 X +Y~ B ( n+m , p )

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  • 时间2018-07-17