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第六章 Monte-Carlo 方法
第一节 Monte-carlo 方法概述
Monte-Carlo(蒙特卡罗)是摩纳哥闻名的赌城的名字,其本意具有“随机”、“机遇”之意,从而Monte-Carlo方法又称为随机抽样技巧或统计模拟方法(statistical simulation method )。
是利用随机数进行数值模拟的方法。
是由Metropolis在二次世界大战期间提出的,Nouman命名。在Manhattan计划中,研究与***有关的中子输运过程。
Monte Carlo方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一。
Nicholas Metropolis (1915-1999)
Monte-Carlo, Monaco
John Von Nouma(1903-1957)
2
o
x
2r
y
正方形的面积为:
2
4
r
S
s
=
例1: 用M-C 方法求圆周率。
一. Monte-Carlo方法的基本思想
设圆的半径为r,圆心位于xoy平面的(r, r)处,且内切于边长为2r的正方形,如图所示:
用M-C方法计算圆面积的基本思想是随机地在正方形范围内画点,共画了N个点,而落在圆内的点数为M,当N足够大时,圆的面积可为:
3
s
r
S
N
M
S
=
2
2
2
)
(
)
(
r
r
y
r
x
i
i
<
-
+
-
N
M
r
S
r
2
4
=
N
M
4
=
p
则:
基本方法是产生两个随机数xi, yi, 其域值为[0,2r]。然后判据是:
记录下总点数N和落在圆内的点数M,则圆面积:
以N=1000000个点数为例,且r=1, Matlab命令: pivalue=4*length(find(sum((rand(2,1000000)-1).^2)<1))/1000000
4
o
x
1
y
f(x)
可以随机地向正方形中投点,统计落在曲线下的点数M,当总的投点数N充分大时,M/N近似等于积分值。
例2: 计算定积分:
被积函数0f(x)  1
事实上,Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。
18世纪下半叶的法国学者Buffon提出用投针试验的方法来确定圆周率π的值。这个著名的Buffon试验是Monte Carlo方法的最早的尝试!
Buffon投针
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Monte-Carlo方法的基本思想是:
当问题可以抽象为某个确定的数学问题时,应当首先建立一个恰当的概率模型,即确定某个随机事件A或随机变量X,使得待求的解等于随机事件出现的概率或随机变量的数学期望值。然后进行模拟实验。--间接模拟
对于求解问题本身就具有概率和统计性的情况,例如中子在介质中的传播等可以使用直接模拟法,该方法是按照实际问题所遵循的概率统计规律,用电子计算机进行直接抽样实验。
由于试验次数不能太少,进行大量模拟就有很大的运算量,从而只有在计算机出现和发展后,该方法才得到有效应用,所以说,Monte-Carlo方法是和计算机紧密联系在一起的。
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三. Monte-Carlo 方法的适用范围非常广泛
由于空间维数的多少对于Monte-Carlo方法的影响不大,且受问题的条件限制小,另外用该方法解决问题所编写的程序结构简单,所以该方法已广泛应用在许多领域。
它可以解决一些典型的数学问题, 如多重积分的计算、线性代数方程组、线性积分方程求解、齐次线性积分方程本征值的计算、微分方程边值的计算等;
另外生物、物理、材料、化学、经济、通讯等科学方面许多复杂问题用该方法来解决相对来说比较简单。
物理科学方面的应用,如核物理方面,在核武器研究、反应堆设计中,都要涉及到粒子的输运问题。而粒子输运中的主要问题有屏蔽问题、反应堆临界问题、输运通量问题、反应堆微扰问题等,均可用Monte-Carlo 方法来处理。
在热力学系统中,Monte-Carlo方法可以模拟多体系统的粒子相互作用,直接模拟系统的时间演化,得到系统各相转化情况。
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,由于用数学递推方法产生的随机数不满足相互独立,且出现周期性循环,所以用数学方法产生的随机数称为伪随机数。
一、随机数和伪随机数
随机数具有相互独立、分布均匀的性质。
,即利用某些物理现象如根据放射性物质的放射性等,在计算机中增加一些特殊设备来产生随机数,这些特殊设备称为随机数发生器。
该方法简单方便,人们往往采用它,只是在用数学方法时,只要产生伪随机数的递推公式选得比较好,随机数的相互独立